Cho khối trụ có hai đáy là (O ) và (O' ). AB, CD lần lượt là hai đường kính của (O) và (O'), góc giữa AB và CD bằng 300, AB = 6 và thể tích khối tứ diện (ABCD ) bằng 30. Thể tích khối trụ đã cho bằng:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi A′,B′ lần lượt là hình chiếu của A,B lên đường tròn (O)
C′,D′ lần lượt là hình chiếu của C,D lên đường tròn (O′)
⇒AC′BD′ là hình bình hành, lại có AB=CD=C′D′ nên AC′BD′ là hình chữ nhật.
Khi đó AC′BD′.A′CB′D là hình hộp chữ nhật.
Ta có:
\({V_{AC'BD'.A'CB'D}} = {V_{ABCD}} + {V_{A.A'CD}} + {V_{B.B'CD}} + {V_{C.C'AB}} + {V_{D.D'AB}}\)
Ta có:
\( {V_{A.A'CD}} = \frac{1}{3}AA'.{S_{A'CD}} = \frac{1}{3}AA'.\frac{1}{2}{S_{A'CB'D}} = \frac{1}{6}{V_{AC'BD'.A'CB'D}}\)
CMTT ta có: \(\begin{array}{l} {V_{B.B'CD}} = {V_{C.C'AB}} = {V_{D.D'AB}} = \frac{1}{6}{V_{AC'BD'.A'CB'D}}\\ \begin{array}{*{20}{l}} { \Rightarrow {V_{AC'BD'.A'CB'D}} = {V_{ABCD}} + 4.\frac{1}{6}{V_{AC'BD'.A'CB'D}}}\\ { \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{1}{3}{V_{AC'BD'.A'CB'D}} = 30}\\ { \Rightarrow {V_{AC'BD'.A'CB'D}} = 90} \end{array} \end{array}\)
Theo bài ra ta có: \( \angle \left( {AB;CD} \right) = {30^0} \Rightarrow \angle \left( {AB;C'D'} \right) = {30^0}\), giả sử
\( \angle \left( {AB;C'D'} \right) = \angle AOC' = {30^0}\)
Lại có: \(\begin{array}{l} OA = OC' = \frac{1}{2}AB = 3\\ \Rightarrow {S_{OAC'}} = \frac{1}{2}OA.OC'.\sin \angle AOC' = \frac{1}{2}.3.3.\sin {30^0} = \frac{9}{4}\\ \Rightarrow {S_{AC'BD'}} = 4{S_{OAC'}} = 9 \end{array}\)
Ta có: \( {V_{AC'BD'.A'CB'D}} = AA'.{S_{AC'BD'}} \Rightarrow 90 = AA'.9 \Leftrightarrow AA' = 10\)
Vậy thể tích khối trụ là \( V = \pi {r^2}h = \pi .O{A^2}.AA' = \pi {.3^2}.10 = 90\pi \)
