Cho \(m=\log _{a}(\sqrt[3]{a b}), \text { với } a>1, b>1 \text { và } P=\log _{a}^{2} b+16 \log _{b} a\). Tìm m sao cho P đạt giá trị nhỏ nhất.
Chính xác
Xem lời giải
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
ATNETWORK
Lời giải:
Báo saiVì \(a>1, b>1, \text { ta có: }\left\{\begin{array}{l} m=\frac{1}{3}\left(1+\log _{a} b\right) \\ \log _{a} b>0 \end{array}\right.\)
Đặt \(t=\log _{a} b,(t>0)\)
\(\Rightarrow P=\left(\log _{a} b\right)^{2}+\frac{16}{\log _{a} b}=t^{2}+\frac{16}{t}=t^{2}+\frac{8}{t}+\frac{8}{t} \geq 3 \cdot \sqrt[3]{t^{2} \cdot \frac{8}{t} \cdot \frac{8}{t}}=12\)
Dấu bằng xảy ra khi \(t^{2}=\frac{8}{t} \Leftrightarrow t^{3}=8 \Leftrightarrow t=2\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =12 khi \(\log _{a} b=2\)
Suy ra \(m=\frac{1}{3}(1+2)=1\)
ADMICRO
YOMEDIA
ZUNIA9