Xét hai số thực số thực a, b thay đổi thỏa mãn b>a> 1, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\log _{a}^{3}\left(\frac{a^{2}}{b^{2}}\right)+\log _{\sqrt[3]{b^{2}}}\left(\frac{b}{a}\right)\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có: } P=\log _{a}^{3}\left(\frac{a^{2}}{b^{2}}\right)+\log _{\sqrt[3]{b^{2}}}\left(\frac{b}{a}\right)=\left[2 \log _{a}\left(\frac{a}{b}\right)\right]^{3}+\frac{3}{2} \log _{b}\left(\frac{b}{a}\right)=8\left(1-\log _{a} b\right)^{3}+\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{\log _{a} b}\right) \text { . }\\ &\text { Đặt } x=\log _{a} b(x>1), \text { ta có: } P=f(x)=8(1-x)^{3}+\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{x}\right) \text { . }\\ &f^{\prime}(x)=\frac{3}{2 x^{2}}-24(1-x)^{2} ; f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left(x-x^{2}\right)^{2}=\frac{1}{16} \Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{2}}{2} \in(1 ;+\infty) .\\ &\text { Suy ra } P_{\max }=\max _{(1 ;+\infty)} f(x)=f\left(\frac{1+\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{23-16 \sqrt{2}}{2} \text { . } \end{aligned}\)
