Cho x là số thực dương. Biểu thức \(\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}}}}}}}\)được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Cách 1:}\\ &\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}}}}}}}=\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}}}}}}}=\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{\frac{3}{x^{2}}}}}}}}}\\ &=\sqrt{x \sqrt{x} \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}}}}}}=\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x^{\frac{7}{4}}}}}}}}=\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \cdot x^{\frac{7}{8}}}}}}}\\ &=\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x^{\frac{15}{8}}}}}}}=\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \cdot x^{\frac{15}{16}}}}}}=\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{\frac{31}{16}}}}}=\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x x^{\frac{31}{32}}}}}=\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x^{\frac{63}{32}}}}}\\ &=\sqrt{x \sqrt{x \cdot x^{63}}}=\sqrt{x \sqrt{x^{\frac{127}{64}}}}=\sqrt{x \sqrt{x^{\frac{127}{128}}}}=\sqrt{x \cdot x^{\frac{255}{128}}}=\sqrt{x^{\frac{255}{128}}}=x^{\frac{255}{256}} \end{aligned} \)
Cách 2: Áp dụng công thức ta có
\(\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}}}}}}}=x^{\frac{2^{8}-1}{2^{8}}}=x^{\frac{255}{256}}\)