Có bao nhiêu bộ ba số thực (x;y;z) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau \( {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {3^{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{{.9}^{\sqrt[3]{{{y^2}}}}}{{.27}^{\sqrt[3]{{{z^2}}}}} = {3^6}}\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{*{20}{l}} {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {3^{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{{.9}^{\sqrt[3]{{{y^2}}}}}{{.27}^{\sqrt[3]{{{z^2}}}}} = {3^6}}\\ { \Leftrightarrow {3^{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{{.3}^{2.\sqrt[3]{{{y^2}}}}}{{.3}^{3.\sqrt[3]{{{z^2}}}}} = {3^6}}\\ { \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x^2}}} + 2.\sqrt[3]{{{y^2}}} + 3.\sqrt[3]{{{z^2}}} = 6} \end{array}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \sqrt[3]{{{x^2}}} + 2.\sqrt[3]{{{y^2}}} + 3.\sqrt[3]{{{z^2}}}}\\ { = \sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}} + \sqrt[3]{{{z^2}}} + \sqrt[3]{{{z^2}}} + \sqrt[3]{{{z^2}}}}\\ { \ge 6.\sqrt[6]{{\sqrt[3]{{{x^2}}}.{{\left( {\sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)}^2}.{{\left( {\sqrt[3]{{{z^2}}}} \right)}^3}}}}\\ { = 6.\sqrt[6]{{\sqrt[3]{{{{\left( {x.{y^2}.{x^3}} \right)}^2}}}}} = 6} \end{array}\)
Dấu “=” xảy ra
\(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt[3]{{{x^2}}} = \sqrt[3]{{{y^2}}} = \sqrt[3]{{{z^2}}} = 1\\ x{y^2}{z^3} = 1 \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} {x^2} = {y^2} = {z^2} = 1\\ x{y^2}{z^3} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( { - 1; - 1; - 1} \right);\left( { - 1;1; - 1} \right);\left( {1; - 1;1} \right);\left( {1;1;1} \right)} \right\}\)
Vậy có 4 bộ số thực (x;y;z) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án cần chọn là: A