Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = x^3 - x;y = 2x \) và các đường thẳng x =  - 1; x = 1 được xác định bởi công thức:

Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bới các đường \(x=\sqrt y; ,y=-x+2,x=0 \) quanh trục Ox có giá trị là kết quả nào sau đây ?

Tính thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: \(y = {x^2} - 4;y = 2x - 4;x = 0;x = 2\) và quay quanh trục Ox.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2},y = 4x - 4\) và \(y = -4x – 4\).

Cho nửa đường tròn đường kính (\(AB=4\sqrt5\) ). Trên đó người ta vẽ một parabol có đỉnh trùng với tâm của nửa hình tròn, trục đối xứng là đường kính vuông góc với AB. Parabol cắt nửa đường tròn tại hai điểm cách nhau 4cm và khoảng cách từ hai điểm đó đến AB bằng nhau và bằng 4cm. Sau đó người ta cắt bỏ phần hình phẳng giới hạn bởi đường tròn và parabol (phần gạch chéo trong hình vẽ). Đem phần còn lại quay xung quanh trục AB. Thể tích của khối tròn xoay thu được bằng:

Cho đồ thị biểu thị vận tốc của hai xe A và B khởi hành cùng một lúc, bên cạnh nhau và trên cùng một con đường. Biết đồ thị biểu diễn vận tốc của xe A là một đường Parabol, đồ thị biểu diễn vận tốc của xe B là một đường thẳng ở hình bên. Hỏi sau khi đi được 3 giây, khoảng cách giữa hai xe là bao nhiêu mét?

Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị \(y=\sqrt{4-\frac{x^{2}}{4}}, y=\frac{x^{2}}{4 \sqrt{2}}\) (hình vẽ bên dưới). Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình phẳng H giới hạn bởi \(y= {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2}}\) và Ox.  Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay H  quanh Ox bằng :

Cho hình phẳng \(A\) giới hạn bởi các đường \(y = 0, x = 4\), và \(y = \sqrt x  - 1\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình \(A\) quanh trục hoành.

Thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đường elip ( E) : \(x^{2}+9 y^{2}=9\) quay quanh Ox bằng

Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = (x - 1)e^x\), trục hoành, đường thẳng x = 0 và x = 1

Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng ( H)  giới hạn bởi các đường \(y=3 x-x^{2}\) và trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay khi quay (H ) quanh trục Ox bằng

Một đám vi khuẩn tại ngày thứ x có số lượng là N(x). Biết rằng N'(x) = \(\frac{{2000}}{{1 + x}}\) và lúc đầu số lượng vi khuẩn là 5000 con. Vậy ngày thứ 12 số lượng vi khuẩn (sau khi làm tròn) là bao nhiêu con?

Một vật bắt đầu chuyển động với phương trình vận tốc là \(v(t)=\frac{2 t}{t^{2}+1}\) Hỏi từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vật có gia tốc nhỏ nhất đã đi được quãng đường dài bao nhiêu? 

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2} - 4\), \(y =  - {x^2} - 2x\) và đường thẳng \(x =  - 3,x =  - 2\)

Một ô tô đang chạy với vận tốc 18 (m/s) thì người lái hãm phang. Sau khi hãm phanh ô tô chuyển động chậm dẫn đều với vận tốc \(v(t)=18-36 t(\mathrm{~m} / \mathrm{s})\) , trong đó t là khoảng thời gian được tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu hãm phanh. Tính quãng đường ô tô đi được kể từ lúc hãm phang cho đến khi dừng hẳn. 

Một Bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{x+1}\) và trục Ox quay quanh trục Ox biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2dm và 4dm, khi đó thể tích của lọ là:

Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường \(y = \cos x, y = 0, x = 0\) và \(x = {\pi  \over 4}.\)
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.

Một vật bắt đầu chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức \(v(t)=3 t+2(m / s)\) . Tại thời điểm t = 2s thì vật đã đi được quãng đường là 10m. Hỏi tại thời điểm t = 30s thì vật đã đi quãng đường bao nhiêu m từ lúc bắt đầu chuyển động?

 

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( {y_1} = {x^3};{y_2} = 4x\) bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^{2}-2 x+1, y=-x+1, x=0, x=m,(m<0)\) bằng \(\frac{5}{6}\). Khi đó giá trị m bằng: