Giả sử phương trình \(\log _{2}{ }^{2}(2 x)-3 \log _{2} x-2=0\) có một nghiệm dạng \(x=2^{\frac{a+\sqrt{b}}{c}}\) với \(a, b, c \in \mathbb{Z}^{+}\) và
b < 20. Tính tổng \(a+b+c^{2}\).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK: x>0
\(\begin{aligned} &\text { Ta có: }\\ &\begin{aligned} &\log _{2}^{2}(2 x)-3 \log _{2} x-2=0 \Leftrightarrow\left(1+\log _{2} x\right)^{2}-3 \log _{2} x-2=0 \\ &\Leftrightarrow \log _{2}^{2} x-\log _{2} x-1=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} \log _{2} x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \\ \log _{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \end{array}\right. \end{aligned} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=2^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} \\ x=2^{\frac{1-\sqrt{5}}{2}} . \end{array}\right. \end{aligned}\)
\(\text { Vậy: } a=1 ; b=5 ; c=2 \Rightarrow a+b+c^{2}=10 \text { . }\)