Phần thực của số phức \({\rm{w}} = 1 + \left( {1 + i} \right) + {\left( {1 + i} \right)^2} + {\left( {1 + i} \right)^3} + ... + {\left( {1 + i} \right)^{1999}}\) bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\({\rm{w}} = 1 + \left( {1 + i} \right) + {\left( {1 + i} \right)^2} + {\left( {1 + i} \right)^3} + ... + {\left( {1 + i} \right)^{1999}} = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^{2000}} - 1}}{{1 + i - 1}} = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^{2000}} - 1}}{i}\)
Ta có
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {1 + i} \right)}^{2000}} = {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{2000}}{{\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)}^{2000}} = {2^{1000}}\left( {\cos 500\pi + i\sin 500\pi } \right) = {2^{1000}}}\\ { \Rightarrow {\rm{w}} = \frac{{{2^{1000}} - 1}}{i} = \frac{{\left( {{2^{1000}} - 1} \right).\left( { - i} \right)}}{{ - {i^2}}} = \left( {1 - {2^{1000}}} \right)i.} \end{array}\)
