Tìm độ dài đường kính của mặt cầu (S ) có phương trình \(x^2 + y^2 + z^2- 2y + 4z + 2 = 0\)

 

Trong không gian Oxyz , cho hai véc tơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow i \sqrt 3 + \overrightarrow k ,\overrightarrow v = \overrightarrow j \sqrt 3 + \overrightarrow k \). Khi đó tích vô hướng  \(\vec u.\vec v\)bằng
 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P: 3x-4y+5z-2 = 0. Véc-tơ nào dưới đây là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng P?

Trong không gian Oxyz cho  \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{1}\) . Khi đó vectơ chỉ phương của đường thẳng d là.
 

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { – 2;7;3} \right)\) và \(B\left( {4;1;5} \right)\). Tính độ dài của đoạn AB.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { – 3;\,0;\,1} \right), B\left( {1;\, – 1;\,3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x – 2y + 2z – 5 = 0\). Đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua A, song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d nhỏ nhất. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;\,b;\,c} \right)\). Khi đó \(\frac{b}{c}\) bằng

Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm \(O, A(1 ; 0 ; 0), B(0 ;-2 ; 0)\,\,và \,\,C(0 ; 0 ; 4)\)

Trong không gian Oxyz, cho hình nón đỉnh \(S\left( {\frac{{17}}{{18}}; – \frac{{11}}{9};\frac{{17}}{{18}}} \right)\) có đường tròn đáy đi qua ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0; – 2;0} \right),C\left( {0;0;1} \right)\). Tính độ dài đường sinh l của hình nón đã cho.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 5a , cạnh bên \(S A=10 a\) và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD . Tính tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng \((A M C) \text { và }(S B C)\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 1; 2) và B(2; -1; 0) là:

rong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng \((P): 2 x+4 y+3 z-5=0 \text { và }(Q): m x-n y-6 z+2=0 \text { . }\) Giá trị của m , n sao cho (P) song song với (Q) là: 

Trong không gian Oxyz cho đường tròn: \(\left( C \right):\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y + 6z + 17 = 0\\ x - 2y + 2z + 1 = 0 \end{array} \right.\)

Tọa độ tâm H của (C) là:

Trong không gian Oxyz , đường thẳng Ox có phương trình nào dưới đây 

Người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật liệu cho trước là a(m) thẳng hàng rào. Ở đó người ta tận dụng một bờ giậu có sẵn để làm một cạnh của hàng rào. Vậy để rào khu đất ấy theo hình chữ nhật sao cho có diện tích lớn nhất thì giá trị lớn nhất đó tính theo a bằng.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ \(\vec{u}(2 ; 3 ;-1) \text { và } \vec{v}(5 ;-4 ; m)\)  Tìm m để \(\vec u\bot\vec v\)
 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t - 2}\\
{y = 2 + 3t}\\
{z = 1 + t}
\end{array}} \right.\). Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{\alpha _d}} \) có tọa độ là:

Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1;2; -1), B(3;1; -2), C(2;3; -3) và G là trọng tâm tam giác ABC . Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng OG .

Trong không gian Oxyz cho các điểm \(A(3 ; 0 ; 0), B(0 ; 3 ; 0), C(0 ; 0 ; 3)\). Gọi (S) là mặt cầu có đường tròn lớn cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Mệnh đề nào sau đây đúng.

Phương trình mặt phẳng chứa \(d_{1}: \frac{x-1}{-2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-4}{3} \text { và } d_{2}: \frac{x+1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{3}\) có dạng:
 

Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm \(M\left( {1\,; – 2\,;1} \right)\).

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - x + y - 3z + \frac{7}{4} = 0\), (S) có tọa độ tâm I và bán kính R là: