Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để phương trình \(m \cdot 9^{x^{2}-2 x}-(2 m+1) 6^{x^{2}-2 x}+m \cdot 4^{x^{2}-2 x}=0\) có nghiệm thuộc khoảng (0;2).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(m \cdot 9^{x^{2}-2 x}-(2 m+1) \cdot 6^{x^{2}-2 x}+m \cdot 4^{x^{2}-2 x}=0 \Leftrightarrow m \cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{2\left(x^{2}-2 x\right)}-(2 m+1)\left(\frac{3}{2}\right)^{x^{2}-2 x}+m=0\)
Với \(m=0\) phương trình vô nghiệm
Xét hàm số \(f(x)=x^{2}-2 x \Rightarrow f^{\prime}(x)=2 x-2 \Rightarrow f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=1\)
\(x \in(0 ; 2) \Rightarrow f(x) \in(-1 ; 0) \Rightarrow\left(\frac{3}{2}\right)^{f(x)} \in\left(\frac{2}{3} ; 1\right)\)
Đặt \(u=\left(\frac{3}{2}\right)^{x^{2}-2 x}\) ta có:
\(m \cdot u^{2}-(2 m+1) u+m=0 \Leftrightarrow m\left(u^{2}-2 u+1\right)-u=0 \Leftrightarrow m=\frac{u}{(u-1)^{2}}\)
Bài toán chuyển về bài toán tìm m để hai đồ thị hàm số \(y=m \text { và } f(u)=\frac{u}{(u-1)^{2}}\) cắt nhau với \(u \in\left(\frac{2}{3} ; 1\right)\)
Xét hàm số \(f(u)=\frac{u}{(u-1)^{2}} \text { với } u \in\left(\frac{2}{3} ; 1\right)\) thì f(u) là hàm đồng biến và \(f(u)>f\left(\frac{2}{3}\right)=6\)
Vậy để phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài thì \(m>6 \Leftrightarrow m \in(6 ;+\infty)\)
