Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình \(m{{.3}^{{{x}^{2}}-3x+2}}+{{3}^{4-{{x}^{2}}}}={{3}^{6-3x}}+m\) có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt. \(\left\{ \begin{array}{l} {3^{{x^2} - 3x + 2}} = u\\ {3^{4 - {x^2}}} = v \end{array} \right. \Rightarrow u.v = {3^{6 - 3x}}\). Khi đó phương trình trở thành
\(\begin{array}{l} mu + v = uv + m \Leftrightarrow m\left( {u - 1} \right) - v\left( {u - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {u - 1} \right)\left( {m - v} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} u = 1\\ v = m \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {3^{^{{x^2} - 3x + 2}}} = 1\\ {3^{2 - {x^2}}} = m\left( {m > 0} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} ^{}{x^2} - 3x + 2 = 0\\ 4 - {x^2} = {\log _3}m \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 2\\ {x^2} = 4 - {\log _3}m \end{array} \right. \end{array}\)
Để phương trình có ba nghiệm thì \({{x}^{2}}=4-{{\log }_{3}}m\) có một nghiệm khác \(1;2\). Tức \(4-{{\log }_{3}}m=0\Leftrightarrow m=81\).