Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( {0\,;\, – 1\,;\,3} \right),B\left( { – 2\,;\, – 8\,;\, – 4} \right), C\left( {2\,;\, – 1\,;\,1} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 14\). Gọi \(M\left( {{x_M}\,;\,{y_M}\,;\,{z_M}} \right)\) là điểm trên \(\left( S \right)\) sao cho biểu thức \(\left| {3\overrightarrow {MA} – 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(P = {x_M} + {y_M}\).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi J là điểm thỏa mãn \(3\overrightarrow {JA} – 2\overrightarrow {JB} + \overrightarrow {JC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {JO} + 3\overrightarrow {OA} – 2\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {OJ} = 3\overrightarrow {OA} – 2\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \Rightarrow J(3\,;\,6\,;\,9)\).
Mà \(3\overrightarrow {MA} – 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MJ} + \left( {3\overrightarrow {JA} – 2\overrightarrow {JB} + \overrightarrow {JC} } \right)\) nên \(\left| {3\overrightarrow {MA} – 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MJ} } \right|\)
Do đó \({\left| {3\overrightarrow {MA} – 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|_{\min }} \Leftrightarrow {\left| {2\overrightarrow {MJ} } \right|_{\min }}\).
Mặt khác: \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {14} \) và \(IJ = 2\sqrt {14} > R \Rightarrow \) điểm J nằm ngoài mặt cầu nên IJ cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại hai điểm \({M_1}\,,\,{M_2}\).
Phương trình đường thẳng \(\left( {IJ} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 4t\\z = 3 + 6t\end{array} \right.\,,t \in \mathbb{R}\).
Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 4t\\z = 3 + 6t\\{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 14\end{array} \right.\,\).
Từ hệ trên ta có phương trình: \({\left( {2t} \right)^2} + {\left( {4t} \right)^2} + {\left( {6t} \right)^2} = 14 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\\t = – \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Suy ra \({M_1}\left( {2\,;\,4\,;\,6} \right)\,,\,{M_2}\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right),{M_1}J = \sqrt {14} \,;\,{M_2}J = 3\sqrt {14} \).
Vậy \({\left| {3\overrightarrow {MA} – 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|_{\min }} \Leftrightarrow {\left| {2\overrightarrow {MJ} } \right|_{\min }} \Leftrightarrow M \equiv {M_1}\). Khi đó \(P = {x_M} + {y_M} = 2 + 4 = 6\).
