Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(3;1;7), B(5;5;1) và mặt phẳng \((P): 2 x-y-z+4=0 . \) . Điểm M thuộc (P) sao cho \(M A=M B=\sqrt{35}\) . Biết M có hoành độ nguyên, ta có OM bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Gọi } M(a ; b ; c) \text { với } a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{R}, c \in \mathbb{R} \text { . }\\ &\text { Ta có: } \overrightarrow{A M}=(a-3 ; b-1 ; c-7) \text { và } \overrightarrow{B M}=(a-5 ; b-5 ; c-1) \text { . } \end{aligned}\)
\(\left\{\begin{array} { l } { M \in ( P ) } \\ { M A = M B = \sqrt { 3 5 } } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} M \in(P) \\ M A^{2}=M B^{2} \text { nên ta có hệ phương trình sau: } \\ M A^{2}=35 \end{array}\right.\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l} 2 a-b-c+4=0 \\ (a-3)^{2}+(b-1)^{2}+(c-7)^{2}=(a-5)^{2}+(b-5)^{2}+(c-1)^{2} \\ (a-3)^{2}+(b-1)^{2}+(c-7)^{2}=35 \end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} 2 a-b-c=-4 \\ 4 a+8 b-12 c=-8 \\ (a-3)^{2}+(b-1)^{2}+(c-7)^{2}=35 \end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { b = c } \\ { c = a + 2 } \\ { ( a - 3 ) ^ { 2 } + ( b - 1 ) ^ { 2 } + ( c - 7 ) ^ { 2 } = 3 5 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { b = a + 2 } \\ { c = a + 2 } \\ { 3 a ^ { 2 } - 1 4 a = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a=0 \\ b=2,(\text { do } a \in \mathbb{Z}) \\ c=2 \end{array}\right.\right.\right.\)
\(\text { Ta có } M(2 ; 2 ; 0) \text { . Suy ra } O M=2 \sqrt{2} \text { . }\)