Cho \(f(x) = \dfrac{{4m}}{\pi } + {\sin ^2}x\). Tìmmđể nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa mãn F(0) = 1 và \(F\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{\pi }{8}\).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\int {\left( {\dfrac{{4m}}{\pi } + {{\sin }^2}x} \right)\,dx} \)
\(= \int {\left( {\dfrac{{4m}}{\pi } + \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)} \,dx \)
\(= \int {\left( {\dfrac{{8m + \pi }}{{2\pi }} - \dfrac{{\cos 2x}}{2}} \right)\,dx} \)
\( = \left( {\dfrac{{8m + \pi }}{{2\pi }}} \right)x - \dfrac{1}{4}\int {\cos 2x\,d\left( {2x} \right)}\)
\( = \left( {\dfrac{{8m + \pi }}{{2\pi }}} \right)x - \dfrac{{\sin 2x}}{4} + C\)
Theo giả thiết ta có:
+ \(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1\)
+ \(F\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{\pi }{8}\)
\(\Rightarrow \left( {\dfrac{{8m + \pi }}{{2\pi }}} \right).\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{1}{4} + 1 = \dfrac{\pi }{8}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{8m + \pi }}{8} = \dfrac{\pi }{8} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{{\pi - 6}}{8} \)
\(\Leftrightarrow 8m = - 6 \Rightarrow m = - \dfrac{3}{4}\).
