Biết \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}} = a\sqrt 5 + b\sqrt 2 + c\) với \(a, b, c\) là các số hữu tỉ. Tính \(P = a + b + c\).
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(\sqrt {{x^2} + 1} = t \Rightarrow {x^2} + 1 = {t^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
xdx = tdt\\
{x^2} = {t^2} - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
dx = \frac{t}{x}dt\\
{x^2} = {t^2} - 1
\end{array} \right.\)
Đổi cận: Với \(x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 ;x = 2 \Rightarrow t = \sqrt 5 \)
Do đó \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}} = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } {\frac{{{x^3}}}{{t - 1}}\frac{t}{x}dt} = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } {\frac{{{x^2}.t}}{{t - 1}}dt} = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } {\frac{{\left( {{t^2} - 1} \right).t}}{{t - 1}}dt} = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } {\frac{{\left( {t + 1} \right)\left( {t - 1} \right).t}}{{t - 1}}dt} \)
\( = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } {\left( {{t^2} + t} \right)dt} = \left. {\frac{{{t^3}}}{3} + \frac{{{t^2}}}{2}} \right|_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } = \frac{5}{3}\sqrt 5 + \frac{5}{2} - \frac{{2\sqrt 2 }}{3} - 1 = \frac{5}{3}\sqrt 3 - \frac{2}{3}\sqrt 2 + \frac{3}{2}\)
nên \(a = \frac{5}{3};b = - \frac{2}{3};c = \frac{3}{2} \Rightarrow P = a + b + c = \frac{5}{2}\).
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Sở GD & ĐT Bạc Liêu lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{4x - 1}}\) có đường tiệm cận ngang là đường thẳng nào sau đây?
-
Tìm nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {x - 5} \right) = 4\).
-
Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 4, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (\(1 \le x \le 4\)) thì được thiết diện là một hình lục giác đều có độ dài cạnh là 2x.
-
Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\) thỏa mãn \(F\left( 5 \right) = 2\) và \(F\left( 0 \right) = 1\). Tính \(F\left( 2 \right) - F\left( { - 1} \right)\).
-
Đường cong trong hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số nào?
.png)
-
Xét hai số thực a, b dương khác 1. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + z + 4 = 0\). Khi đó mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là
-
Tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 2\) tại điểm có hoành độ bằng - 3 có phương trình là
-
Cho cấp số cộng có \({u_1} = - 3;{u_{10}} = 24\). Tìm công sai d?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 2 = 0\) và điểm \(I\left( { - 1;2; - 1} \right)\). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 5.
-
Cho hình chóp S.ABCD đều có AB = 2 và \(SA = 3\sqrt 2 \). Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng
-
Biết bất phương trình \({\log _5}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _{25}}\left( {{5^{x + 1}} - 5} \right) \le 1\) có tập nghiệm là đoạn [a;b]. Giá trị của \(a+b\) bằng
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình bên dưới. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
.PNG)
-
Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình \({x^9} + 3{x^3} - 9x = m + 3\sqrt[3]{{9x + m}}\) có đúng hai nghiệm thực. Tính tổng các phần tử của S.
-
Tìm giá trị cực tiểu \(y_{CT}\) của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\).
-
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{x^3} - 3{x^2} - 12x + 10\) trên đoạn [ - 3;3] là:
-
Hình nón có diện tích xung quanh bằng 24π và bán kính đường tròn đáy bằng 3. Đường sinh của hình nón có độ dài bằng:
-
Cho hàm số \(y=f(x)\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Đặt \(g\left( x \right) = 3f\left( x \right) - {x^3} + 3x - m\), với m là tham số thực. Điều kiện cần và đủ để bất phương trình \(g\left( x \right) \ge 0\) nghiệm đúng với \(\forall x \in \left[ { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]\) là
.png)
-
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số thực m để hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right) - mx + 1\) đồng biến trên R?
-
Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và 210g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu; còn để pha chế 1 lít nước táo, cần 10g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm và mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm. Gọi x, y lần lượt là số lít nước cam và nước táo mà mỗi đội cần pha chế sao cho tổng điểm đạt được là lớn nhất. Tính \(T = 2{x^2} + {y^2}\).
