Biết \(\int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{x\cos x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} + x}}{\rm{d}}x} = a + \frac{{{\pi ^2}}}{b} + \frac{{\sqrt 3 \pi }}{c}\) với \(a, b, c\) là các số nguyên. Tính \(P = a - b + c.\)
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{x\cos x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} + x}}{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {x\cos x\left( {\sqrt {1 + {x^2}} - x} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {x\left( {\sqrt {1 + {x^2}} - x} \right)\cos x{\rm{d}}x} .\)
Lại có \(I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{x\cos x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} + x}}{\rm{d}}x} \mathop = \limits^{x = - t} \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{ - \frac{\pi }{6}} {\frac{{\left( { - t} \right)\cos \left( { - t} \right)}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - t} \right)}^2}} - t}}{\rm{d}}\left( { - t} \right) = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{ - \frac{\pi }{6}} {\frac{{t\cos t}}{{\sqrt {1 + {t^2}} - t}}{\rm{d}}t} } \)
\( = - \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {t\left( {\sqrt {1 + {t^2}} + t} \right)\cos t{\rm{d}}t} = - \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {x\left( {\sqrt {1 + {x^2}} + x} \right)\cos x{\rm{d}}x} .\)
Suy ra \(2I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {x\left( {\sqrt {1 + {x^2}} - x} \right)\cos x{\rm{d}}x} - \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {x\left( {\sqrt {1 + {x^2}} + x} \right)\cos x{\rm{d}}x} = - 2\int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {{x^2}\cos x{\rm{d}}x} \)
\( \to I = - \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {{x^2}\cos x{\rm{d}}x} .\) Tích phân từng phần hai lần ta được \(I = 2 + \frac{{{\pi ^2}}}{{ - 36}} + \frac{{\sqrt 3 \pi }}{{ - 3}}\)
\( \to \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = - 36\\
c = - 3
\end{array} \right. \to P = a - b + c = 35.\)