Cho \(0\le x\le 2020\) và \({{\log }_{2}}(2x+2)+x-3y={{8}^{y}}\). Có bao nhiêu cặp số (x;y) nguyên thỏa mãn các điều kiện trên ?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDo \(0\le x\le 2020\) nên \({{\log }_{2}}(2x+2)\) luôn có nghĩa .
Ta có \({{\log }_{2}}(2x+2)+x-3y={{8}^{y}}\)
\(\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(x+1)+x+1=3y+{{2}^{3y}}\)
\(\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(x+1)+{{2}^{{{\log }_{2}}(x+1)}}=3y+{{2}^{3y}}\) (1)
Xét hàm số \(f(t)=t+{{2}^{t}}\)
Tập xác định \(D=\mathbb{R}\) và \({f}'(t)=1+{{2}^{t}}\ln 2 \Rightarrow {f}'(t)>0 \forall t\in \mathbb{R}\).
Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Do đó \((1)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(x+1)=3y \Leftrightarrow y={{\log }_{8}}(x+1)\).
Ta có \(0\le x\le 2020\) nên \(1\le x+1\le 2021\) suy ra \(0\le {{\log }_{8}}(x+1)\le {{\log }_{8}}2021\Leftrightarrow 0\le y\le {{\log }_{8}}2021\).
Vì \(y\in \mathbb{Z}\) nên \(y\in \left\{ 0\,;1\,;2\,;\left. 3 \right\} \right.\).
Vậy có 4 cặp số \((x\,;y)\) nguyên thỏa yêu cầu bài toán là các cặp \((0\,;0), (7\,;1) ,(63\,;2),(511\,;3)\) .
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Tam Phú lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho tập hợp \(A\) gồm có 9 phần tử. Số tập con gồm có 4 phần tử của tập hợp \(A\) là
-
Đạo hàm của hàm số \(y={{\log }_{5}}x\) là
-
Giải phương trình \({{\log }_{3}}\left( x-1 \right)=2\).
-
Cho khối chóp tam giác S.ABC có \(SA\bot \left( ABC \right)\), tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là AB=5a; BC=8a; AC=7a, góc giữa SB và \(\left( ABC \right)\) là \(45{}^\circ \). Tính thể tích khối chóp S.ABC.
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y+2z-3=0\). Tính bán kính R của mặt cầu \(\left( S \right)\).
-
Tìm tất cả giá trị của tham số m để bất phương trình \(\log \left( 2{{x}^{2}}+3 \right)>\log \left( {{x}^{2}}+mx+1 \right)\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\).
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm \(A\left( 1\,;\,1\,;\,0 \right), B\left( 0\,;\,3\,;\,3 \right)\). Khi đó
-
Có bao nhiêu số phức z thỏa \(\left| \frac{z+1}{i-z} \right|=1\) và \(\left| \frac{z-i}{2+z} \right|=1?\)
-
Tính môđun số phức nghịch đảo của số phức \(z={{\left( 1-2i \right)}^{2}}\).
-
Thể tích khối nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy \(r\) là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị \({f}'\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Đặt \(g\left( x \right)=f\left( x \right)-x\). Hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực đại tại điểm thuộc khoảng nào dưới đây?
.jpg.png)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9\) và \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\in \left( S \right)\) sao cho \(A={{x}_{0}}+2{{y}_{0}}+2{{z}_{0}}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó \({{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}\) bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{-2}.\) Một vec tơ chỉ phương của d là
-
Tất cả nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{1}{2x+3}\) là
-
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({{\log }_{2}}\left( 9-x \right)\le 3\) là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ 0;3 \right]\) và \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=1, \int\limits_{2}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}=4\). Tính \(I=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}\).
-
Với a,b là số thực dương, a khác 1 và m,n là hai số thực, m khác 0, ta có \({{\log }_{{{a}^{m}}}}\left( {{b}^{n}} \right)\) bằng:
-
Cho số phức \(z=3+i\). Phần thực của số phức \(2z+1+i\) bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có cạnh AB=2,AD=4. Cạnh bên SA=2 và vuông góc với đáy (tham khảo hình vẽ). Thể tích V của khối chóp S.ABCD bằng
.png)
