Cho hai số thực x, y thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\left( {{y^2} + 8y + 16} \right) + {\log _2}\left[ {\left( {5 - x} \right)\left( {1 + x} \right)} \right] = 2{\log _3}\frac{{5 + 4x - {x^2}}}{3} + {\log _2}{\left( {2y + 8} \right)^2}.\)

Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - m} \right|\) không vượt quá 10. Hỏi S có bao nhiêu tập con không phải là tập rỗng?

A. 2047

B. 16383

C. 16384

D. 32

Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

ĐK: - 1 < x < 5, y khác 4. Ta có:

\(\begin{array}{l} {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{y^2} + 8y + 16} \right) + {\log _2}\left[ {\left( {5 - x} \right)\left( {1 + x} \right)} \right] = 2{\log _3}\frac{{5 + 4x - {x^2}}}{3} + {\log _2}{\left( {2y + 8} \right)^2}.\\ \Leftrightarrow 2{\log _3}\left( {{y^2} + 8y + 16} \right) - 2{\log _3}\left( {5 + 4x - {x^2}} \right) = {\log _2}\left( {{y^2} + 8y + 16} \right) - {\log _2}\left( {5 + 4x - {x^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{{\log }_3}4 - 1} \right).{\log _2}\left( {{y^2} + 8y + 16} \right) = \left( {{{\log }_3}4 - 1} \right).{\log _2}\left( {5 + 4x - {x^2}} \right) \end{array}\)

\( \Leftrightarrow {y^2} + 8y + 16 = 5 + 4x - {x^2}\) (vì hàm \(f\left( t \right) = \left( {{{\log }_3}4 - 1} \right).{\log _2}t\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {{x^2} + {y^2} + 11} \right)^2} = {\left( {4x - 8y} \right)^2} \le 80\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\\ \Rightarrow {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - 58\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 121 \le 0\\ \Rightarrow 29 - 12\sqrt 5 \le {x^2} + {y^2} \le 29 + 12\sqrt 5 \\ \Rightarrow \sqrt {29 - 12\sqrt 5 } \le \sqrt {{x^2} + {y^2}} \le \sqrt {29 + 12\sqrt 5 } \end{array}\).

Đặt \(a = \sqrt {29 - 12\sqrt 5 } ,b = \sqrt {29 + 12\sqrt 5 } \) , ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\mkern 1mu} P = \max \left\{ {\left| {a - m} \right|,\left| {b - m} \right|} \right\}\).

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\mkern 1mu} P \le 10 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| {a - m} \right| \le 10\\ \left| {b - m} \right| \le 10 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a - 10 \le m \le a + 10\\ b - 10 \le m \le b + 10 \end{array} \right. \Rightarrow b - 10 \le m \le a + 10\).

Vì \(m \in Z\) nên \(S = \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11} \right\}\).

Vậy số tập con không phải là tập rỗng của tập S là \({2^{14}} - 1 = 16383\).

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài