Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right)=\frac{1}{8}\) và \({f}'\left( x \right)=x{{\cos }^{2}}x, \forall x\in \mathbb{R}\). Tích phân \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\frac{8f\left( x \right)-\cos 2x}{x}\text{d}x}\) bằng
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(\int{x{{\cos }^{2}}x\text{d}x}=\int{x.\frac{1+\cos 2x}{2}}\text{d}x=\int{\frac{x}{2}\text{d}x+\frac{1}{2}\int{x\cos 2x\text{d}x}}=\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{1}{4}\int{x\text{d}\left( \sin 2x \right)}\)
\(=\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{1}{4}x\sin 2x-\frac{1}{4}\int{\sin 2x\text{d}x}=\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{1}{4}x\sin 2x+\frac{1}{8}\cos 2x+C\)
Suy ra \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{1}{4}x\sin 2x+\frac{1}{8}\cos 2x+C\)
Mà \(f\left( 0 \right)=\frac{1}{8}\Rightarrow \frac{1}{8}+C=\frac{1}{8}\Leftrightarrow C=0\)
Do đó \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{1}{4}x\sin 2x+\frac{1}{8}\cos 2x\).
Ta có \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\frac{8f\left( x \right)-\cos 2x}{x}\text{d}x}=\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\left( 2x+2\sin 2x \right)\text{d}x}=\left. \left( {{x}^{2}}-\cos 2x \right) \right|_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }={{\pi }^{2}}-1-\frac{{{\pi }^{2}}}{4}-1=\frac{3{{\pi }^{2}}-8}{4}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Thái Bình Dương lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({{3}^{{{x}^{2}}-2x+1-2\left| x-m \right|}}={{\log }_{{{x}^{2}}-2x+3}}\left( 2\left| x-m \right|+2 \right)\) có đúng ba nghiệm phân biệt là
-
Cho số phức \(z,\,{{z}_{1}},\,{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}-4-5i \right|=\left| {{z}_{2}}-1 \right|=1\) và \(\left| \overline{z}+4i \right|=\left| z-8+4i \right|\). Tính \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\,\,\) khi \(P=\left| z-{{z}_{1}} \right|\,+\left| z-{{z}_{2}} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất
-
Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{3-2x}{x+1}\) là
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có \(A\left( -1;1;6 \right), B\left( -3;-2;-4 \right), $C\left( 1;2;-1 \right), D\left( 2;-2;0 \right)\). Điểm \(M\left( a;b;c \right)\) thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất. Tính a+b+c.
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \({f}'\left( x \right)=\left( x-1 \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}\left( x+3 \right)\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
Cho \(\int\limits_{1}^{\text{e}}{\left( 2+x\ln x \right)}\text{d}x=a{{\text{e}}^{2}}+b\text{e}+c\) với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, gọi M là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \(\left( ABCD \right)\), biết \(SD=2a\sqrt{5}\), SC tạo với mặt đáy \(\left( ABCD \right)\) một góc \(60{}^\circ \). Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SA.
-
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{2x+1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\) trên khoảng \(\left( -2\,;\,+\infty \right)\) là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ.
.png)
Cho các mệnh đề sau:
I. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-3 \right)\) và \(\left( -3;-2 \right)\).
II. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -\infty ;-2 \right)\).
III. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( -2;+\infty \right)\).
IV. Hàm số đồng biến trên \(\left( -\infty ;5 \right)\).
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm \(A\left( -1;\,5;\,3 \right)\) và \(M\left( 2;\,1;\,-2 \right)\). Tọa độ điểm B biết M là trung điểm của AB là
-
Rút gọn biểu thức \(A=\frac{\sqrt[3]{{{a}^{7}}}.{{a}^{\frac{11}{3}}}}{{{a}^{4}}.\sqrt[7]{{{a}^{-5}}}}\) với a>0 ta được kết quả \(A={{a}^{\frac{m}{n}}}\) trong đó m, \(n\in {{N}^{*}}\) và \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+10y-6z+49=0\). Tính bán kính R của mặt cầu \(\left( S \right)\).
-
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức \(z=3+i\) là điểm nào trong hình vẽ dưới đây?
.jpg.png)
-
Ông An muốn làm một cánh cửa bằng sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ. Biết rằng đường cong phía trên là một parabol, tứ giác ABCD là hình chữ nhật. Giá của cánh cửa sau khi hoàn thành là 900 000 đồng/m2. Số tiền mà ông An phải trả để làm cánh cửa đó bằng
.jpg.png)
-
Cho số phức z thỏa mãn \(\left( 1-i \right)z+4\bar{z}=7-7i\). Khi đó, môđun của z bằng bao nhiêu?
-
Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị đạo hàm \(y={f}'\left( x \right)\) như hình bên.
.jpg.png)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Cho a,b,c,d,e,f là các số thực thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l} {\left( {d - 1} \right)^2} + {\left( {e - 2} \right)^2} + {\left( {f - 3} \right)^2} = 1\\ {\left( {a + 3} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {c^2} = 9 \end{array} \right..\) Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F=\sqrt{{{\left( a-d \right)}^{2}}+{{\left( b-e \right)}^{2}}+{{\left( c-f \right)}^{2}}}\) lần lượt là M,m. Khi đó, M-m bằng
-
Đường thẳng y=-3x cắt đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-2\) tại điểm có tọa độ \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) thì
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\), hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Hàm số \(g\left( x \right)=2f\left( \frac{5\sin x-1}{2} \right)+\frac{{{(5\sin x-1)}^{2}}}{4}+3\) có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng \(\left( 0;2\pi \right)\).
.jpg.png)
