Cho hàm số \(f\left( x \right),f\left( -x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(2f\left( x \right)+3f\left( -x \right)=\frac{1}{4+{{x}^{2}}}\). Tính \(I=\int\limits_{-2}^{2}{f\left( x \right)dx}\).
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t=-x\Rightarrow dx=-dt\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{align} & x=-2\Rightarrow t=2 \\ & x=2\Rightarrow t=-2 \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow I=-\int\limits_{2}^{-2}{f\left( -t \right)dt}=\int\limits_{-2}^{2}{f\left( -x \right)dx}\).
Theo bài ra ta có: \(2f\left( x \right)+3f\left( -x \right)=\frac{1}{4+{{x}^{2}}}\Leftrightarrow 2\int\limits_{-2}^{2}{f\left( x \right)dx}+3\int\limits_{-2}^{2}{f\left( -x \right)dx}=\int\limits_{-2}^{2}{\frac{dx}{4+{{x}^{2}}}}\)
\(\Leftrightarrow 3I+2I=\int\limits_{-2}^{2}{\frac{dx}{4+{{x}^{2}}}}\Leftrightarrow I=\frac{1}{5}\int\limits_{-2}^{2}{\frac{dx}{4+{{x}^{2}}}}\).
Đặt \(x=2\tan u\) ta có: \(dx=2\frac{1}{{{\cos }^{2}}u}du=2\left( 1+{{\tan }^{2}}u \right)du\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{align} & x=-2\Rightarrow u=\frac{-\pi }{4} \\ & x=2\Rightarrow u=\frac{\pi }{4} \\ \end{align} \right.\).
Khi đó ta có \(I=\frac{1}{5}\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{2\left( 1+{{u}^{2}} \right)du}{4+4{{\tan }^{2}}u}}=\frac{1}{10}\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{du}=\left. \frac{1}{10}u \right|_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}=\frac{1}{10}\left( \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\pi }{20}\).
Câu hỏi liên quan
-
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right),y=g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ a;b \right]\) và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
-
Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích bằng V. Tính thể tích khối tứ diện ABCB'C'.
-
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {5^{2x}}\)?
-
Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho BC=3BM, \(BD=\frac{3}{2}BN\), AC=2AP. Mặt phẳng \(\left( MNP \right)\) chia khối tứ diện ABCD thành 2 phần có thể tích là \({{V}_{1}},{{V}_{2}}\). Tính tỉ số \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}\)?
-
Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh 2a, cạnh bên \(SA=a\sqrt{5}\). Khoảng cách giữa BD và SC là:
-
Tính \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 1} - \sqrt {n + 2} }}{{2n - 3}}\) bằng:
-
Tập xác định của hàm số \({\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)^\pi }\) là:
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( 0;-2;-1 \right),B\left( -2;-4;3 \right), C\left( 1;3;-1 \right)\). Tìm điểm \(M\in \left( Oxy \right)\) sao cho \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
-
Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\left( m-1 \right){{x}^{2}}-4mx\) đồng biến trên đoạn \(\left[ 1;4 \right]\).
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm \(A\left( 1;0;2 \right),B\left( -2;1;3 \right),C\left( 3;2;4 \right), D\left( 6;9;-5 \right)\). Tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD là:
-
Cho \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}=2\). Tính \(\int\limits_{1}^{4}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}dx}\) bằng:
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu có phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-6z+9=0\). Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu là:
-
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {{2x + 1} \over {x - 1}}\) tại điểm có hoành độ bằng \(2\) có hệ số góc \(k = ?\)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)={{x}^{2}}\left( x-1 \right){{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{3}},\forall x\in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
-
Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y=x-\sqrt{4-{{x}^{2}}}\). Khi đó M-m bằng:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(f\left( x \right)-1=m\) có đúng 2 nghiệm.
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ 0;2 \right]\) và \(f\left( 2 \right)=16;\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=4\). Tính \(I=\int\limits_{0}^{1}{xf'\left( 2x \right)dx}\).
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực R?
-
Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số của tập \(X = \left\{ {1;3;5;8;9} \right\}\).
