Cho hàm số \(f\left( x \right),f\left( -x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(2f\left( x \right)+3f\left( -x \right)=\frac{1}{4+{{x}^{2}}}\). Tính \(I=\int\limits_{-2}^{2}{f\left( x \right)dx}\).
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t=-x\Rightarrow dx=-dt\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{align} & x=-2\Rightarrow t=2 \\ & x=2\Rightarrow t=-2 \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow I=-\int\limits_{2}^{-2}{f\left( -t \right)dt}=\int\limits_{-2}^{2}{f\left( -x \right)dx}\).
Theo bài ra ta có: \(2f\left( x \right)+3f\left( -x \right)=\frac{1}{4+{{x}^{2}}}\Leftrightarrow 2\int\limits_{-2}^{2}{f\left( x \right)dx}+3\int\limits_{-2}^{2}{f\left( -x \right)dx}=\int\limits_{-2}^{2}{\frac{dx}{4+{{x}^{2}}}}\)
\(\Leftrightarrow 3I+2I=\int\limits_{-2}^{2}{\frac{dx}{4+{{x}^{2}}}}\Leftrightarrow I=\frac{1}{5}\int\limits_{-2}^{2}{\frac{dx}{4+{{x}^{2}}}}\).
Đặt \(x=2\tan u\) ta có: \(dx=2\frac{1}{{{\cos }^{2}}u}du=2\left( 1+{{\tan }^{2}}u \right)du\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{align} & x=-2\Rightarrow u=\frac{-\pi }{4} \\ & x=2\Rightarrow u=\frac{\pi }{4} \\ \end{align} \right.\).
Khi đó ta có \(I=\frac{1}{5}\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{2\left( 1+{{u}^{2}} \right)du}{4+4{{\tan }^{2}}u}}=\frac{1}{10}\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{du}=\left. \frac{1}{10}u \right|_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}=\frac{1}{10}\left( \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\pi }{20}\).
Câu hỏi liên quan
-
Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\left( m-1 \right){{x}^{2}}-4mx\) đồng biến trên đoạn \(\left[ 1;4 \right]\).
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 2 \right)=f\left( -2 \right)=0\) và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
.PNG)
Hàm số \(y={{\left( f\left( 3-x \right) \right)}^{2}}\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho hàm số y = f(x) bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Phát biểu nào sau đây đúng?
-
Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y=x-\sqrt{4-{{x}^{2}}}\). Khi đó M-m bằng:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)={{x}^{2}}\left( x-1 \right){{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{3}},\forall x\in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
-
Tính \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 1} - \sqrt {n + 2} }}{{2n - 3}}\) bằng:
-
Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số của tập \(X = \left\{ {1;3;5;8;9} \right\}\).
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right),y=g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ a;b \right]\) và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
-
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
-
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {{2x + 1} \over {x - 1}}\) tại điểm có hoành độ bằng \(2\) có hệ số góc \(k = ?\)
-
Cho các số thực dương a, b với \(a\ne 1\) và \({{\log }_{a}}b>0\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh 2a, cạnh bên \(SA=a\sqrt{5}\). Khoảng cách giữa BD và SC là:
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực R?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ \(\overrightarrow{a}=\left( 2;m-1;3 \right), \overrightarrow{b}=\left( 1;3;-2n \right)\). Tìm m, n để các vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) cùng hướng.
-
Cho mặt phẳng (P) đi qua các điểm \(A\left( { - 2;0;0} \right),B\left( {0;3;0} \right),C\left( {0;0; - 3} \right)\). Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau:
-
Đầu mỗi tháng anh A gửi vào ngân hàng 3 triệu đồng với lãi suất kép là 0,6% mỗi tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng (khi ngân hàng đã tính lãi) thì anh A có được số tiền cả lãi và gốc nhiều hơn 100 triệu biết lãi suất không đổi trong quá trình gửi.
-
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {5^{2x}}\)?
-
Đặt \(a={{\log }_{2}}5,b={{\log }_{3}}5\). Hãy biểu diễn \({{\log }_{6}}5\) theo a và b.
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{k}\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{a}\) là:
-
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}} \). Tính xác suất để số được chọn luôn có mặt chữ số 2 và thỏa mãn \({a_1} < {a_2} < {a_3} < {a_4} > {a_5} > {a_6} > {a_7}\).
