Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c\). Nếu phương trình \(f\left( x \right)=0\) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình \(2f\left( x \right).f''\left( x \right)={{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}\) có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét đa thức bậc bốn \(g\left( x \right)=2f\left( x \right).f''\left( x \right)-{{\left( f'\left( x \right) \right)}^{2}}\). Ta có \(g'\left( x \right)=2f\left( x \right).f'''\left( x \right)=12f\left( x \right)\)
Vì \(g'\left( x \right)=0\) có ba nghiệm phân biệt nên \(g\left( x \right)=0\) có tối đa bốn nghiệm
Vậy phương trình \(2f\left( x \right).f''\left( x \right)={{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}\) có tối đa bốn nghiệm. Giả sử \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}\) là ba nghiệm của \(f\left( x \right)=0\). Mà các nghiệm này đều phân biệt nên ta có \(f'\left( {{x}_{1}} \right),\,f'\left( {{x}_{2}} \right),\,f'\left( {{x}_{3}} \right)\) đều khác 0. Ta có
.PNG)
Nhận thấy
\(\begin{align} & g\left( {{x}_{1}} \right)=2f\left( {{x}_{1}} \right).f''\left( {{x}_{1}} \right)-{{\left( f'\left( {{x}_{1}} \right) \right)}^{2}}=-{{\left( f'\left( {{x}_{1}} \right) \right)}^{2}}<0 \\ & g\left( {{x}_{2}} \right)=2f\left( {{x}_{2}} \right).f''\left( {{x}_{2}} \right)-{{\left( f'\left( {{x}_{2}} \right) \right)}^{2}}=-{{\left( f'\left( {{x}_{2}} \right) \right)}^{2}}<0 \\ & g\left( {{x}_{3}} \right)=2f\left( {{x}_{3}} \right).f''\left( {{x}_{3}} \right)-{{\left( f'\left( {{x}_{3}} \right) \right)}^{2}}=-{{\left( f'\left( {{x}_{3}} \right) \right)}^{2}}<0 \\ \end{align}\)
Nên từ bảng biến thiên suy ra phương trình \(g\left( x \right)=0\) có đúng hai nghiệm phân biệt. Do đó phương trình \(2f\left( x \right).f''\left( x \right)={{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}\) có đúng hai nghiệm phân biệt.
Câu hỏi liên quan
-
Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD đôi một vuông góc với nhau biết AB=AC=AD=1. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:
-
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{1 - \cos x}}{{\sin {\rm{x}} - 1}}\) là
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{k}\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{a}\) là:
-
Từ một hộp có 1000 thẻ được đánh số từ 1 đến 1000. Chọn ngẫu nhiên ra hai thẻ. Tính xác suất để chọn được hai thẻ sao cho tổng của các số ghi trên hai thẻ nhỏ hơn 700.
-
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2017x - 2018}}{{x + 1}}\) có đường tiệm cận đứng là
-
Cho hàm số \(y=m{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x+8m\) có đồ thị \(\left( {{C}_{m}} \right)\). Tìm tất cả giá trị tham số m để đồ thị \(\left( {{C}_{m}} \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
-
Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?
.PNG)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)=2019\ln \left( {{e}^{\frac{x}{2019}}}+\sqrt{e} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(A=f'\left( 1 \right)+f'\left( 2 \right)+...+f'\left( 2018 \right)\)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Giải bất phương trình \({{\log }_{2}}\left( 3x-2 \right)>{{\log }_{2}}\left( 6-5x \right)\) được tập nghiệm là (a;b). Hãy tính tổng S=a+b.
-
Tiếp tuyến đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\) tại điểm A (3;1) là đường thẳng
-
Đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \) là:
-
Số nghiệm của phương trình \({9^x} + {2.3^{x + 1}} - 7 = 0\) là
-
Trên đồ thị của hàm số \(y=\frac{2x-5}{3x-1}\) có bao nhiêu điểm có tọa độ là các số nguyên?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a mặt bên SAB là tam giác đều, mặt bên SCD là tam giác vuông cân tại S, gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc với SA. Tính thể tích V của khối chóp S.BDM
-
Tập xác định của phương trình \(\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} - 5 = \frac{3}{{{x^2} + 1}}\) là:
-
Cho phương trình \(m{{\cos }^{2}}x-4\sin x\cos x+m-2=0\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có đúng một nghiệm thuộc \(\left[ 0;\frac{\pi }{4} \right]\) ?
-
Tích của giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)=x+\frac{4}{x}\) trên đoạn [1;3] bằng
-
Tìm m để hàm số \(y=x+\sqrt{4-{{x}^{2}}}+m\) có giá trị lớn nhất bằng \(3\sqrt{2}\)
-
Trong mặt phẳng Oxy cho \(\overrightarrow{a}=\left( 1;3 \right),\ \overrightarrow{b}=\left( -2;1 \right)\) Tích vô hướng của 2 vectơ \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) là:
