Cho hàm số f(x), có \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) và \(f'\left( x \right) = \sin x.{\cos ^2}2x,\forall x \in R\). Khi đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)} dx\) bằng
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(I = \int {f'\left( x \right)} dx = \int {\sin x.{{\cos }^2}2xdx = \int {\sin x{{\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)}^2}dx} } \)
Đặt \(t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx\)
Suy ra \(I = - \int {{{\left( {2{t^2} - 1} \right)}^2}dt = - \int {\left( {4{t^4} - 4{t^2} + 1} \right)dt = - \frac{4}{5}{t^5} + \frac{4}{3}{t^3} - t + c} } \)
Hay \(I = - \frac{4}{5}{\cos ^5}x + \frac{4}{3}{\cos ^3}x - \cos x + C \Rightarrow f\left( x \right) = - \frac{4}{5}{\cos ^5}x + \frac{4}{3}{\cos ^3}x - \cos x + C\)
Mà \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0 \Rightarrow C = 0\). Vậy \(f\left( x \right) = - \frac{4}{5}{\cos ^5}x + \frac{4}{3}{\cos ^3}x - \cos x\)
Tích phân \(J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( { - \frac{4}{5}{{\cos }^5}x + \frac{4}{3}{{\cos }^3}x - \cos x} \right)} dx\)
\(= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x\left( { - \frac{4}{5}{{\cos }^4}x + \frac{4}{3}{{\cos }^2}x - 1} \right)} dx\)
\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x\left( { - \frac{4}{5}{{\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)}^2} + \frac{4}{3}\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - 1} \right)} dx\)
Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\)
Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 0;\,\,x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\)
Khi đó \(J = \int\limits_0^1 {\left[ { - \frac{4}{5}{{\left( {1 - {t^2}} \right)}^2} + \frac{4}{3}\left( {1 - {t^2}} \right) - 1} \right]dt} = - \frac{{121}}{{225}}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho cấp số nhân với u1 = 3 và u2 = 9. Công sai của cấp số cộng đã cho là:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SC = a\sqrt 3 \) (minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) bằng
.png)
-
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 3z + 1 = 0\) song song với mặt phẳng nào dưới đây ?
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây là sai?
.png)
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = {x^4} - 6{x^2} - 9\) trên đoạn [-1;4] bằng
-
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB' = a, góc giữa BB' và mặt phẳng (ABC) bằng 30o; Hình chiếu vuông góc của B' lên mp (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'B'C').
-
Trong không gian Oxyz cho điểm \(M(1;2;3);N( - 1;1;2)\). Phương trình mặt phẳng trung trực của MN là
-
Cho hình nón (N) có đường kính đáy bằng 4a, đường sinh bằng 5a. Tính diện tích xung quanh của hình nón (N).
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}x < 3\) là:
-
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = -3i là điểm nào dưới đây ?
-
Cho hình trụ (T). Biết rằng khi cắt hình trụ (T) bới mặt phẳng (P) vuông góc với trục được thiết diện là đường tròn có chu vi \(6a \pi\) và cắt hình trụ (T) bới mặt phẳng (Q) song song với trục và cách trục một khoảng bằng 2a, thiết diện thu được là một hình vuông. Tính thể tích khối trụ (T).
-
Có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh từ nhóm có 5 học sinh.
-
Thể tích V của khối cầu có bán kính R = 4 bằng
-
Mođun của số phức z = 1 - 2i là:
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 4z - 3 = 0\)
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({4^x} - {3.2^x} + 2 > 0\) là:
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
.png)
-
Nghiệm của phương trình: \({2^{x + 1}} = 16\) là:
-
Cho hai số phức \({z_1} = 3 + 4i\) và \({z_2} = 4 - 3i\). Độ dài số phức \({z_1} + {z_2}\)
