Cho hàm số f(x), f(-x) liên tục trên R và thỏa mãn \(2f\left( x \right) + 3f\left( { - x} \right) = \frac{1}{{4 + {x^2}}}\). Tính \(I = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} \)
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t = - x \Rightarrow dx = - dt\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = - 2 \Rightarrow t = 2\\
x = 2 \Rightarrow t = - 2
\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow I = - \int\limits_2^{ - 2} {f\left( { - t} \right)dt} = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( { - x} \right)dx} \)
Theo bài ra ta có: \(2f\left( x \right) + 3f\left( { - x} \right) = \frac{1}{{4 + {x^2}}} \Leftrightarrow 2\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} + 3\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( { - x} \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{dx}}{{4 + {x^2}}}} \)
\( \Leftrightarrow 3I + 2I = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{dx}}{{4 + {x^2}}}} \Leftrightarrow I = \frac{1}{5}\int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{dx}}{{4 + {x^2}}}} \)
Đặt x = 2tanu ta có: \(dx = 2\frac{1}{{{{\cos }^2}u}}du = 2\left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = - 2 \Rightarrow u = \frac{{ - \pi }}{4}\\
x = 2 \Rightarrow u = \frac{\pi }{4}
\end{array} \right.\)
Khi đó ta có \(I = \frac{1}{5}\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{2\left( {1 + {u^2}} \right)du}}{{4 + 4{{\tan }^2}u}}} = \frac{1}{{10}}\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {du} = \left. {\frac{1}{{10}}u} \right|_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} = \frac{1}{{10}}\left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{{20}}\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + 4\) (C). Biết đồ thị hàm số (C) cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = 20{a^2} + 20{b^2} + 5{c^2}\)
-
Đặt \(a = {\log _2}5,b = {\log _3}5\) . Hãy biểu diễn \({\log _6}5\) theo a và b.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {0; - 2; - 1} \right),B\left( { - 2; - 4;3} \right),C\left( {1;3; - 1} \right)\). Tìm điểm \(M \in \left( {Oxy} \right)\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
-
Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} - 4mx\) đồng biến trên đoạn [1;4]
-
Gọi l, h, r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình nón là:
-
Cho mặt phẳng (P) đi qua các điểm \(A\left( { - 2;0;0} \right),B\left( {0;3;0} \right),C\left( {0;0; - 3} \right)\). Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau:
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực R?
-
Cho hai tích phân \(\int\limits_{ - 2}^5 {f\left( x \right)dx} = 8\) và \(\int\limits_5^{ - 2} {g\left( x \right)dx} = 3\) . Tính \(I = \int\limits_{ - 2}^5 {\left[ {f\left( x \right) - 4g\left( x \right) - 1} \right]dx} \)?
-
Cho cấp số nhân (un) có tổng n số hạng đầu tiên là \({S_n} = {6^n} - 1\). Tìm số hạng thứ năm của cấp số cộng đã cho
-
Cho hàm số y = f(t) bảng biến thiên như sau:
.png)
Cho hàm số y = f(t) bảng biến thiên như sau:
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow a = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là:
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) để bất phương trình sau nghiệm đúng \(\forall x \in R:{\left( {6 + 2\sqrt 7 } \right)^x} + \left( {2 - m} \right){\left( {3 - \sqrt 7 } \right)^x} - \left( {m + 1} \right){2^x} \ge 0\) ?
-
Số nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {{x^2} + 4x} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {2x + 3} \right) = 0\) là:
-
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
-
Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = x - \sqrt {4 - {x^2}} \). Khi đó M - m bằng:
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:
-
Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Tính thể tích khối tứ diện ABCB’C’.
-
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có diện tích tam giác ABC bằng \(2\sqrt 3 \). Gọi M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AA’, BB’, CC’, diện tích tam giác MNP bằng 4. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (MNP).
-
Hai đồ thị của hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} + 2x - 1\) và \(y = 3{x^2} - 2x - 1\) có tất cả bao nhiêu điểm chung?
-
Tính khoảng cách giữa các tiếp tuyến của đồ thị hàm \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\) (C) tại cực trị của (C) .
