Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} - 4mx\) đồng biến trên đoạn [1;4]
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(y' = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4m\)
Để hàm số đồng biến trên [1; 4] thì \(y' \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \left[ {1;4} \right]\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
\( \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4m \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \left[ {1;4} \right] \Leftrightarrow {x^2} + 2x \ge 2m\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow 2m \le \frac{{{x^2} + 2x}}{{x + 2}}{\rm{ }}\forall x \in \left[ {1;4} \right]\)
Đặt \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x}}{{x + 2}} \Rightarrow 2m \le f\left( x \right){\rm{ }}\forall x \in \left[ {1;4} \right] \Leftrightarrow 2m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;4} \right]} f\left( x \right)\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x}}{{x + 2}}\) trên [1; 4] ta có:
\(f'\left( x \right) = \frac{{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) - {x^2} - 2x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 4x + 4}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 1 > 0{\rm{ }}\forall x \in \left[ {1;4} \right] \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên [1; 4] \( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\left[ {1;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 1\).
Vậy \(2m \le 1 \Leftrightarrow m \le \frac{1}{2}\).
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
-
Tập xác định của hàm số \({\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)^\pi }\) là:
-
Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = x - \sqrt {4 - {x^2}} \). Khi đó M - m bằng:
-
Cho \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 2\). Tính \(\int\limits_1^4 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} \) bằng:
-
Cho mặt phẳng (P) đi qua các điểm \(A\left( { - 2;0;0} \right),B\left( {0;3;0} \right),C\left( {0;0; - 3} \right)\). Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau:
-
Khối trụ tròn xoay có đường kính là 2a, chiều cao là h = 2a có thể tích là:
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {0; - 2; - 1} \right),B\left( { - 2; - 4;3} \right),C\left( {1;3; - 1} \right)\). Tìm điểm \(M \in \left( {Oxy} \right)\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
-
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x - 4} \right) + 1 > 0\)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0;3} \right)\) . Thể tích tứ diện OABC bằng:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) liên tục trên [a; b] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2;m - 1;3} \right),\overrightarrow b = \left( {1;3; - 2n} \right)\) . Tìm m, n để các vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng hướng.
-
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(f\left( {\cos x} \right) = m\) có 2 nghiệm phân biệt thuộc \(\left( {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) là:
.png)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm \(A\left( {1;0;2} \right),B\left( { - 2;1;3} \right),C\left( {3;2;4} \right),D\left( {6;9; - 5} \right)\) . Tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD là:
-
Cho hai tích phân \(\int\limits_{ - 2}^5 {f\left( x \right)dx} = 8\) và \(\int\limits_5^{ - 2} {g\left( x \right)dx} = 3\) . Tính \(I = \int\limits_{ - 2}^5 {\left[ {f\left( x \right) - 4g\left( x \right) - 1} \right]dx} \)?
-
Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Tính thể tích khối tứ diện ABCB’C’.
-
Hai đồ thị của hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} + 2x - 1\) và \(y = 3{x^2} - 2x - 1\) có tất cả bao nhiêu điểm chung?
-
Gọi l, h, r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình nón là:
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) để bất phương trình sau nghiệm đúng \(\forall x \in R:{\left( {6 + 2\sqrt 7 } \right)^x} + \left( {2 - m} \right){\left( {3 - \sqrt 7 } \right)^x} - \left( {m + 1} \right){2^x} \ge 0\) ?
-
Tích phân \(\int\limits_0^2 {\frac{x}{{{x^2} + 3}}dx} \) bằng:
-
Cho f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [-1; 1] và \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = 4\). Kết quả \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}dx} \) bằng:
