Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right)} \,{\rm{d}}x = 4\) và \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x} = 2\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f(x){\rm{d}}x} \)
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \({I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right)} \,{\rm{d}}x = 4\).
Đặt \(t = \tan x \Rightarrow {\rm{d}}t = \frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\cos }^2}x}} \Rightarrow {\rm{d}}t = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right){\rm{d}}x = \left( {1 + {t^2}} \right){\rm{d}}x \Rightarrow \frac{{{\rm{d}}t}}{{1 + {t^2}}} = {\rm{d}}x\).
\( \Rightarrow {\rm{d}}t = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right){\rm{d}}x = \left( {1 + {t^2}} \right){\rm{d}}x \Rightarrow \frac{{{\rm{d}}t}}{{1 + {t^2}}} = {\rm{d}}x\).
\( \Rightarrow {I_1} = \int\limits_0^1 {\frac{{f(t)}}{{{t^2} + 1}}{\rm{d}}t} = \int\limits_0^1 {\frac{{f(x)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x} = 4\).
\({I_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}\,} {\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {f(x)} \,{\rm{d}}x - \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}} \,{\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x - 4 = 2 \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 6\)
Câu hỏi liên quan
-
Trên không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(2;5;-3) trên mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là:
-
Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình: \({z^2} - 4z + 9 = 0\). Tìm tọa độ của điểm biểu diễn số phức \(\omega = \left( {1 + i} \right){z_0}\).
-
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), \(SA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D có AB = 2AD = 2DC = a (Hình vẽ minh họa). Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
.png)
-
Xét \(\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}\sqrt {{{\left( {2 + {x^3}} \right)}^5}} dx} \), nếu đặt \(u = 2 + {x^3}\) thì \(\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}\sqrt {{{\left( {2 + {x^3}} \right)}^5}} dx} \) bằng
-
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 2{x^2} + 3x + 1\,,\,y = {x^3} + 1\,\) được tính bởi công thức nào dưới đây ?
-
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B = 25 và chiều cao h = 7. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
-
Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(2a\sqrt 2 \). Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng
-
Diện tích xung quanh của một hình nón có độ dài đường sinh l(m), bán kính đáy \(\frac{3}{\pi }\,(m)\) là:
-
Cho hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} - 3\), có đồ thị hình vẽ dưới đây. Với giá trị nào của m thì phương trình \({x^4} - 3{x^2} + m = 0\) có ba nghiệm phân biệt?
.png)
-
Cho khối trụ có độ dài đường sinh \(l = a\sqrt 3 \) và bán kính đáy \(r = a\sqrt 2 \). Thể tích của khối trụ đã cho bằng
-
Cho cấp số nhân (un) có u1 = 3 công bội \(q = - \frac{1}{3}\). Tính u4.
-
Nghiệm của phương trình 2x = 4 là
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 8y - 2z - 4 = 0\). Tâm và bán kính của mặt cầu (S) lần lượt là
-
Cho hai số phức \({z_1} = 3 - i\) và \({z_2} = - 1 + i\). Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức \({z_1}\overline {{z_2}} \).
-
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^4} + 3{x^2} - 4\) với trục hoành là
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x - 4z + 2 = 0. Véc tơ nào dưới đây là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;-1;-3) và mặt phẳng (P): 3x - 2y + 4z - 5 = 0. Mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P) có phương trình là
-
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 3} \right) \ge {\log _{\frac{1}{2}}}4\) là
-
Cho hai số thực a, b thỏa mãn \(\frac{1}{3} < b < a < 1\) và biểu thức \(P = {\log _a}\left( {\frac{{3b - 1}}{{4{a^3}}}} \right) + 12\log _{\frac{b}{a}}^2a\) có giá trị nhỏ nhất. Tính \(\frac{b}{a}\).
-
Với a là một số thực dương tùy ý, \({\log _2}\left( {8{a^3}} \right)\) bằng
