Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \({\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + f\left( x \right).f'\left( x \right) = 15{x^4} + 12x,\forall x \in R\) và \(f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right) = 1\). Giá trị của \({\left( {f\left( 1 \right)} \right)^2}\) là
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(\left( {f\left( x \right).f'\left( x \right)} \right)' = f'\left( x \right).f'\left( x \right) + f\left( x \right).\left( {f'\left( x \right)} \right)' = {\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right)\)
Nên \({\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right) = 15{x^4} + 12x \Leftrightarrow \left( {f\left( x \right).f'\left( x \right)} \right)' = 15{x^4} + 12x\)
Lấy nguyên hàm hai vế ta có:
\(\int {\left( {f\left( x \right).f'\left( x \right)} \right)'dx} = \int {\left( {15{x^4} + 12x} \right)dx} \Leftrightarrow f'\left( x \right).f\left( x \right) = 3{x^5} + 6{x^2} + C\)
Thay x = 0 vào ta được \(f'\left( 0 \right).f\left( 0 \right) = C \Leftrightarrow C = 1 \Rightarrow f\left( x \right).f'\left( x \right) = 3{x^5} + 6{x^2} + 1\)
Lấy nguyên hàm hai vế ta được \(\int {f\left( x \right).f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^5} + 6{x^2} + 1} \right)dx} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \int {f\left( x \right)d\left( {f\left( x \right)} \right)} = \frac{{{x^6}}}{2} + 2{x^3} + x + {C_1} \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}}}{2} = \frac{{{x^6}}}{2} + 2{x^3} + x + {C_1}\\
\Leftrightarrow {\left( {f\left( x \right)} \right)^2} = {x^6} + 4{x^3} + 2x + 2{C_1}
\end{array}\)
Lại có \(f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow 2{C_1} = 1 \Rightarrow {\left( {f\left( x \right)} \right)^2} = {x^6} + 4{x^3} + 2x + 1\)
Suy ra \({\left( {f\left( 1 \right)} \right)^2} = 8\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Thái Nguyên lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn [- 2;1] thỏa mãn \(f(0=1\) và \({\left( {f\left( x \right)} \right)^2}.f'\left( x \right) = 3{x^2} + 4x + 2.\) Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=f(x)\) trên đoạn [- 2;1] là:
-
Có 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)\) trên tập số thực R và đồ thị của hàm số \(y=f(x)\) như hình vẽ. Khi đó, đồ thị của hàm số \(y = {\left( {f\left( x \right)} \right)^2}\) có
.png)
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, \(SA = a\sqrt 3 \). Tính thể tích hình chóp S.ABCD.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;0;2} \right),B\left( {3;1; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 1 = 0\). Gọi \(M\left( {a;b;c} \right) \in \left( P \right)\) sao cho \(\left| {3\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(S = 9a + 3b + 6c\).
-
Cho \(x,y > 0\) và thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - xy + 3 = 0\\
2x + 3y - 14 \le 0
\end{array} \right.\). Tính tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P = 3{x^2}y - x{y^2} - 2{x^3} + 2x\)? -
Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn \(\left| z \right| - 2\overline z = - 7 + 3i + z\). Mô đun của số phức \({\rm{w}} = 1 - z + {z^2}\) bằng
-
Cho \(z_1, z_2\) là hai số phức thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 5 - 3i} \right| = 5\) đồng thời \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 8\). Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w=z_1+z_2\) trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình
-
Cho một miếng tôn hình tròn tâm O, bán kính R. Cắt bỏ một phần miếng tôn theo một hình quạt OAB và gò phần còn lại thành một hình nón đỉnh O không có đáy (OA trùng với OB). Gọi S và S ' lần lượt là diện tích của miếng tôn hình tròn ban đầu và diện tích của miếng tôn còn lại. Tìm tỉ số \(\frac{{S'}}{S}\) để thể tích của khối nón đạt giá trị lớn nhất.
-
Khi cắt hình nón có chiều cao 16 cm và đường kính đáy 24 cm bởi một mặt phẳng song song với đường sinh của hình nón ta thu được thiết diện có diện tích lớn nhất gần với giá trị nào sau đây?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = m\) có năm nghiệm phân biệt thuộc đoạn [0;5]?
.png)
-
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác với \(AB = a,AC = 2a\) và \(BAC = {120^0},AA' = 2a\sqrt 5 \). Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
-
Xét các số thực dương x;y thỏa mãn \({\log _3}\frac{{1 - y}}{{x + 3xy}} = 3xy + x + 3y - 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = x + y\).
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a,b,c,d \in R} \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + x} }}{{x\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} - 2f\left( x \right)} \right]}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
.png)
-
Với a và b là hai số thực dương tùy ý, \(\log \left( {{a^2}{b^3}} \right)\) bằng
-
Phương trình \(\log \left( {54 - {x^3}} \right) = 3\log x\) có nghiệm là
-
Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = 3\) và \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)} dx = 2\) . Khi đó \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)} dx\)
-
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 2}}\) trên đoạn [0;1]. Giá trị của \(M+2m\) bằng
-
Tập nghiệm của bất phương trình \(\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0\) là
-
Cho số phức \(z=10-2i\) . Phần thực và phần ảo của số phức \(\overline z \) là
