Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \({\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + f\left( x \right).f'\left( x \right) = 15{x^4} + 12x,\forall x \in R\) và \(f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right) = 1\). Giá trị của \({\left( {f\left( 1 \right)} \right)^2}\) là
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(\left( {f\left( x \right).f'\left( x \right)} \right)' = f'\left( x \right).f'\left( x \right) + f\left( x \right).\left( {f'\left( x \right)} \right)' = {\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right)\)
Nên \({\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right) = 15{x^4} + 12x \Leftrightarrow \left( {f\left( x \right).f'\left( x \right)} \right)' = 15{x^4} + 12x\)
Lấy nguyên hàm hai vế ta có:
\(\int {\left( {f\left( x \right).f'\left( x \right)} \right)'dx} = \int {\left( {15{x^4} + 12x} \right)dx} \Leftrightarrow f'\left( x \right).f\left( x \right) = 3{x^5} + 6{x^2} + C\)
Thay x = 0 vào ta được \(f'\left( 0 \right).f\left( 0 \right) = C \Leftrightarrow C = 1 \Rightarrow f\left( x \right).f'\left( x \right) = 3{x^5} + 6{x^2} + 1\)
Lấy nguyên hàm hai vế ta được \(\int {f\left( x \right).f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^5} + 6{x^2} + 1} \right)dx} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \int {f\left( x \right)d\left( {f\left( x \right)} \right)} = \frac{{{x^6}}}{2} + 2{x^3} + x + {C_1} \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}}}{2} = \frac{{{x^6}}}{2} + 2{x^3} + x + {C_1}\\
\Leftrightarrow {\left( {f\left( x \right)} \right)^2} = {x^6} + 4{x^3} + 2x + 2{C_1}
\end{array}\)
Lại có \(f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow 2{C_1} = 1 \Rightarrow {\left( {f\left( x \right)} \right)^2} = {x^6} + 4{x^3} + 2x + 1\)
Suy ra \({\left( {f\left( 1 \right)} \right)^2} = 8\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Thái Nguyên lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Khi cắt hình nón có chiều cao 16 cm và đường kính đáy 24 cm bởi một mặt phẳng song song với đường sinh của hình nón ta thu được thiết diện có diện tích lớn nhất gần với giá trị nào sau đây?
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({\log ^2}\left| {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \right| - m\log {\cos ^2}x - {m^2} + 4 = 0\) vô nghiệm.
-
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}\). Xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 12 = 0\). Mặt phẳng nào sau đây cắt (S) theo một đường tròn có bán kính r = 3?
-
Trong không gian Oxyz, xét mặt cầu (S) có phương trình dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + y - 2az + 10a = 0\). Tập hợp các giá trị thực của a để (S) có chu vi đường tròn lớn bằng \(8\pi\) là
-
Cho \(z_1, z_2\) là hai số phức thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 5 - 3i} \right| = 5\) đồng thời \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 8\). Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w=z_1+z_2\) trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) đi qua điểm A(2;- 2;5) và tiếp xúc với ba mặt phẳng \(\left( P \right):x = 1,\left( Q \right):y = - 1\) và \(\left( R \right):z = 1\) có bán kính bằng
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên sau đây. Mệnh đề nào sau đây đúng?
.PNG)
-
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Khoảng cách giữa AB và B’C là \(\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\), khoảng cách giữa BC và AB’ là \(\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\), khoảng cách giữa AC và BD’ là \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\). Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’.
-
Cho trước 5 chiếc ghế xếp thành một hàng ngang. Số cách xếp 3 bạn A, B, C vào 5 chiếc ghế đó sao cho mỗi bạn 1 ghế là
-
Cho hai hàm số \(y = {x^3} + a{x^2} + bx + c\left( {a,b,c \in R} \right)\) có đồ thị (C) và \(y = m{x^2} + nx + p\left( {m,n,p \in R} \right)\) có đồ thị (P) như hình vẽ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (P) có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?
.png)
-
Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn \(\left| z \right| - 2\overline z = - 7 + 3i + z\). Mô đun của số phức \({\rm{w}} = 1 - z + {z^2}\) bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm M(2;0;- 1) và có một véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left( {4; - 6;2} \right)\). Phương trình tham số của \(\Delta\) là
-
Xét các số thực dương x;y thỏa mãn \({\log _3}\frac{{1 - y}}{{x + 3xy}} = 3xy + x + 3y - 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = x + y\).
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)\) trên tập số thực R và đồ thị của hàm số \(y=f(x)\) như hình vẽ. Khi đó, đồ thị của hàm số \(y = {\left( {f\left( x \right)} \right)^2}\) có
.png)
-
Có 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy?
-
Phương trình \(\log \left( {54 - {x^3}} \right) = 3\log x\) có nghiệm là
-
Cho cấp số cộng \((u_n)\), biết \({u_1} = - 5,d = 2\). Số 81 là số hạng thứ bao nhiêu?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a,b,c,d \in R} \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + x} }}{{x\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} - 2f\left( x \right)} \right]}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
.png)
-
Khi quay một tam giác vuông (kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó) quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông ta được
