Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \(\left[ { – \pi ;\pi } \right]\), thỏa mãn \(\int_0^\pi {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\). Giá trị tích phân \(I = \int_{ – \pi }^\pi {\frac{{f\left( x \right)}}{{{{2020}^x} + 1}}{\rm{d}}x} \) bằng?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t = – x \Rightarrow {\rm{d}}t = – {\rm{d}}x\). Đổi cận \(x = – \pi \Rightarrow t = \pi ,\,\,x = \pi \Rightarrow t = – \pi \).
\( \Rightarrow I = – \int_\pi ^{ – \pi } {\frac{{f\left( { – t} \right)}}{{{{2020}^{ – t}} + 1}}{\rm{d}}t} = \int_{ – \pi }^\pi {\frac{{f\left( t \right)}}{{{{2020}^{ – t}} + 1}}{\rm{d}}t} \) ( vì \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn nên \(f\left( t \right) = f\left( { – t} \right)\)).
\(I = \int_{ – \pi }^\pi {\frac{{{{2020}^t}f\left( t \right)}}{{{{2020}^t} + 1}}{\rm{d}}t} = \int_{ – \pi }^\pi {\frac{{\left( {{{2020}^t} + 1 – 1} \right)f\left( t \right)}}{{{{2020}^t} + 1}}{\rm{d}}t} = \int_{ – \pi }^\pi {f\left( t \right){\rm{d}}t} – \int_{ – \pi }^\pi {\frac{{f\left( t \right)}}{{{{2020}^t} + 1}}{\rm{d}}t} \)
\(2I = \int_{ – \pi }^\pi {f\left( t \right){\rm{d}}t} = 2\int_0^\pi {f\left( t \right){\rm{d}}t} \)( vì \(y = f\left( t \right)\) là hàm số chẵn )
Vậy \(I = \int_0^\pi {f\left( t \right){\rm{d}}t} = 2\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Thái Học lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho khối nón có chiều cao h = 3, bán kính r = 4. Độ dài đường sinh của khối nón bằng
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Đặt \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} f\left( x \right),\;m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} f\left( x \right)\), T = M + m. Hỏi mệnh đề nào dưới đây là đúng?
.jpg.png)
-
Cho khối chóp có diện tich đáy B=3 và thể tích V = 4. Chiều cao của khối chóp đã cho bằng
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên sau
.png)
Số nghiệm của phương trình 2f(x) - 1 = 0 là
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {3;{\rm{ }}2;{\rm{ }}2} \right), B\left( {4; – 1;0} \right)\). Viết phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) qua hai điểm A và B.
-
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
-
Tập xác định của hàm số y = \({{\log }_{3}}\left( x-1 \right)\) là
-
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{1+3x}{3-x}\) là
-
Thể tích của khối hình hộp chữ nhật có độ dài ba kích thước 2, 3, 4 bằng
-
Gọi \({{z}_{0}}\) là nghiệm có phần ảo dương của phương trình \({{z}^{2}}+2z+5=0.\) Điểm biểu diễn của số phức \({{z}_{0}}+3i\) là
-
Cắt khối nón bởi một mặt phẳng qua trục tạo thành một tam giác ABC đều có cạnh bằng a, biết B, C thuộc đường tròn đáy. Thể tích của khối nón là:
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm \(A\left( 1;-2;4 \right),\,B\left( -2;3;5 \right)\).Tìm tọa độ véctơ \(\overrightarrow{AB}\)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): \({{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-7)}^{2}}=36\) có tâm I và bán kính R là:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) sao cho \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;10} \right]} \,f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 4.\) Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} + x} \right) – {x^2} + 2x + m.\) Giá trị của tham số m để \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} \,g\left( x \right) = 8\) là
-
Nghiệm của phương trình \({{2}^{x-1}}=8\) là
-
Cho tích phân \(I=\int\limits_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x\sqrt{3{{\ln }^{2}}x+1}}dx}\). Nếu đặt \(t=\sqrt{3{{\ln }^{2}}x+1}\) thì khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
-
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của \(f^{\prime}(x)\) như sau:
.png)
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình \(2f\left( x \right)+1=0\) là
.jpg.png)
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với công sai d=3 và \({{u}_{2}}=9\). Số hạng \({{u}_{1}}\) của cấp số cộng bằng
-
Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) với \(x \le 2020\) thỏa mãn điều kiện \({\log _2}\frac{{x + 2}}{{y + 1}} + {x^2} + 4x = 4{y^2} + 8y + 1\).
