Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right)\) với mọi \(x \in R.\) Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\frac{{5x}}{{{x^2} + 4}}} \right)\) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 1\\
x = 2
\end{array} \right..\)
Xét \(g'\left( x \right) = \frac{{20 - 5{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}f'\left( {\frac{{5x}}{{{x^2} + 4}}} \right);{\rm{ }}g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
20 - 5{x^2} = 0\\
\frac{{5x}}{{{x^2} + 4}} = 0\\
\frac{{5x}}{{{x^2} + 4}} = 1\\
\frac{{5x}}{{{x^2} + 4}} = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \pm 2\\
x = 0\\
x = 1{\rm{ }}\left( {{\rm{nghiem boi chan}}} \right)\\
x = 4{\rm{ }}\left( {{\rm{nghiem boi chan}}} \right)
\end{array} \right..\)
Bảng biến thiên
.png)
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D
Chú ý: Dấu của \(g'(x)\) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\) ta chọn \(x = 5\)
\(x = 5 \to \frac{{20 - 5{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} < 0.\) (1)
\(x = 5 \to \frac{{5x}}{{{x^2} + 4}} = \frac{{25}}{{29}} \to f'\left( {\frac{{25}}{{29}}} \right) = \frac{{25}}{{29}}{\left( {\frac{{25}}{{29}} - 1} \right)^2}\left( {\frac{{25}}{{29}} - 2} \right) < 0.\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(g'\left( x \right) > 0\) trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right).\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên \(R\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + x\) đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây?
.png)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right).\) Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên dưới
.png)
Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {1 - 2x} \right)\) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
-
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2} - 2x\) với mọi \(x \in R\). Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {1 - \frac{x}{2}} \right) + 4x\) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) Đồ thị hàm số \(y=f'(x)\) như hình bên dưới và \(f\left( { - 2} \right) = f\left( 2 \right) = 0.\)
.png)
Hàm số \(g\left( x \right) = {\left[ {f\left( {3 - x} \right)} \right]^2}\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\). Đồ thị hàm số \(y=f'(x)\) như hình bên. Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2} \right).\) Mệnh đề nào dưới đây sai ?
.png)
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^4}\left( {{x^2} - 4} \right)\) với mọi \(x \in R.\) Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right|} \right)\) là
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) Đồ thị hàm số \(y=f'(x)\) như hình bên dưới. Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2 + {e^x}} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?
.png)
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biên thiên như hình vẽ
.png)
Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2{x^2} - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2}} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(R\). Đồ thị hàm số \(y=f'(x)\) như hình bên dưới
.png)
Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - x,\) khẳng định nào sau đây là đúng ?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) Đồ thị hàm số \(y=f'(x)\) như hình bên dưới
.png)
Hỏi hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 5} \right)\) có bao nhiêu khoảng nghịch biến ?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(R\). Đồ thị hàm số \(y=f'(x)\) như hình bên. Hỏi hàm số \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) + {\left( {x + 1} \right)^2}\) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
.png)
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới
.png)
Hỏi hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 1} \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị ?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên dưới
.png)
Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {3 - 2x} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
-
Cho hàm bậc ba \(y=f(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( x \right) + m} \right|\) có 3 điểm cực trị là
.png)
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 1} \right){\left( {x - 4} \right)^2}\) với mọi \(x \in R.\) Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị ?
-
Cho hàm số \(y=(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(R\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên dưới
.png)
Hàm số \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) - {x^2}\) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?
-
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 2x} \right)\) với mọi \(x \in R\). Hỏi số thực nào dưới đây thuộc khoảng đồng biến của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)\) ?
-
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^4}{\left( {x - m} \right)^5}{\left( {x + 3} \right)^3}\) với mọi \(x \in R.\) Có bao nhiêu số nguyên \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 5;5} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có 3 điểm cực trị ?
-
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 2x} \right)\) với mọi \(x \in R.\) Có bao nhiêu số nguyên \(m < 100\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\) ?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\). Đồ thị hàm số \(y=f'(x)\) như hình bên dưới
.png)
Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} } \right)\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
