Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ:
Có bao nhiêu giá trị của n để phương trình \(f\left( {16{{\cos }^2}x + 6\sin 2x - 8} \right) = f\left( {n\left( {n + 1} \right)} \right)\) có nghiệm \(x \in R?\)
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số \(y=f(x)\) đồng biến trên R.
Do đó: \(f\left( {16{{\cos }^2}x + 6\sin 2x - 8} \right) = f\left( {n\left( {n + 1} \right)} \right) \Leftrightarrow 16{\cos ^2}x + 6\sin 2x - 8 = n\left( {n + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow 16.\frac{{1 + \cos 2x}}{2} + 6\sin 2x - 8 = n\left( {n + 1} \right) \Leftrightarrow 8\cos 2x + 6\sin 2x = n\left( {n + 1} \right)\)
Phương trình có nghiệm \(x \in R \Leftrightarrow {8^2} + {6^2} \ge {n^2}{\left( {n + 1} \right)^2} \Leftrightarrow {n^2}{\left( {n + 1} \right)^2} \le 100\)
\(\left\{ \begin{array}{l}
n\left( {n + 1} \right) \ge - 10\\
n\left( {n + 1} \right) \le 10
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{n^2} + n + 10 \ge 0\\
{n^2} + n - 10 \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow {n^2} + n - 10 \le 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 1 - \sqrt {41} }}{2} \le n \le \frac{{ - 1 + \sqrt {41} }}{2}.\)
Vì \(n \in Z\) nên \(n \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1;2} \right\}.\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Quang Trung - Bình Phước lần 1