Cho hàm số \(y = {x^3} - 3\left( {m + 3} \right){x^2} + 3\) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho qua điểm \(A\left( { - 1; - 1} \right)\) kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến \(\left( C \right)\), một tiếp tuyến là \({\Delta _1}:\,\,y = - 1\) và tiếp tuyến thứ hai là \({\Delta _2}\) thỏa mãn: \({\Delta _2}\) tiếp xúc với \(\left( C \right)\) tại N đồng thời cắt \(\left( C \right)\) tại P (khác N) có hoành độ bằng 3.
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTXĐ: \(D = R\), ta có \(y' = 3{x^2} - 6\left( {m + 3} \right)x\).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là:
\(y = \left( {3x_0^2 - 6\left( {m + 3} \right){x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3\left( {m + 3} \right)x_0^2 + 3\,\,\left( d \right)\).
Có một tiếp tuyến là \({\Delta _1}:\,\,y = - 1\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x_0^2 - 6\left( {m + 3} \right){x_0} = 0\\x_0^3 - 3\left( {m + 3} \right)x_0^2 + 3 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 2\left( {m + 3} \right)\end{array} \right.\\x_0^3 - 3\left( {m + 3} \right)x_0^2 + 3 = - 1\end{array} \right.\)
TH1: \({x_0} = 0 \Rightarrow 3 = - 1\) (vô nghiệm).
TH2: \({x_0} = 2\left( {m + 3} \right) \Rightarrow 8{\left( {m + 3} \right)^3} - 3\left( {m + 3} \right).4{\left( {m + 3} \right)^2} + 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow - 4{\left( {m + 3} \right)^3} + 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 3} \right)^3} = 1 \Leftrightarrow m + 3 = 1 \Leftrightarrow m = - 2\).
Thử lại khi \(m = - 2\), phương trình đường thẳng (d) trở thành \(y = \left( {3x_0^2 - 6{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3x_0^2 + 3\,\,\left( d \right)\)
\(\begin{array}{l}A\left( { - 1; - 1} \right) \in \left( d \right) \Rightarrow - 1 = \left( {3x_0^2 - 6{x_0}} \right)\left( { - 1 - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3x_0^2 + 3\\ \Leftrightarrow - 1 = - 3x_0^2 + 6{x_0} - 3x_0^3 + 6x_0^2 + x_0^3 - 3x_0^2 + 3\\ \Leftrightarrow 2x_0^3 - 6{x_0} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = - 1\end{array} \right.\end{array}\)
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt, do đó từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số khi \(m = - 2\) (tm).
Vậy \(m = - 2\).
Chọn A.
Câu hỏi liên quan
-
Cho khối chóp \(SABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right),\;\;SA = a,\;AB = a,\;AC = 2a,\;\angle BAC = {120^0}.\) Tính thể tích khối chóp \(SABC.\)
-
Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng \(a\). Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):\;{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 4z - 25 = 0.\) Tìm tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right).\)
-
Cho tứ diện S.ABC có ABC là tam giác nhọn. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm của tam giác AB Khẳng định nào dưới đây là sai khi nói về tứ diện đã cho?
-
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cos x - 2x.\)
-
Hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 3x + 5\) nghịch biến trên khoảng nào?
-
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{3x}}.\)
-
Tính tổng tất cả các giá tri của m biết đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4\) và đường thẳng \(y = x + 4\) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt \(A\left( {0;4} \right)\), B, C sao cho diện tích tam giác IBC bằng \(8\sqrt 2 \) với \(I\left( {1;3} \right)\).
-
Tìm số hạng không chứ x trong khai triển của \({\left( {{x^2} - \dfrac{1}{x}} \right)^{12}}.\)
-
Tìm nguyên hàm \(\int\limits_{}^{} {\dfrac{1}{{x\sqrt {\ln x + 1} }}dx} \).
-
Biết \(\int\limits_{}^{} {\dfrac{{x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}dx} = a\ln \left| {x - 1} \right| + b\ln \left| {x - 2} \right| + C\,\,\left( {a,b \in R} \right)\). Tính giá trị của biểu thức \(a + b\)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {{e^x} + 1} \right)\left( {{e^x} - 12} \right)\left( {x + 1} \right){\left( {x - 1} \right)^2}\) trên \(R.\) Hỏi hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Tính diện tích xung quanh S của khối trụ có bán kính đáy \(r = 4\) và chiều cao \(h = 3.\)
-
Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \({9^{{x^2} - 3x + 2}} = 1.\)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(R\) và có bảng biến thiên:
.JPG)
Khẳng định nào sai?
-
Gọi K là tập nghiệm của bất phương trình \({7^{2x + \sqrt {x + 1} }} - {7^{2 + \sqrt {x + 1} }} + 2018x \le 2018\). Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số \(y = 2{x^3} - 3\left( {m + 2} \right){x^2} + 6\left( {2m + 3} \right)x - 3m + 5\) đồng biến trên K là \(\left[ {a - \sqrt b ; + \infty } \right)\), với a, b là các số thự Tính \(S = a + b\).
-
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao \(AH = 4\). Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh trục AH.
-
Cho hàm số \(y = {\log _2}x.\) Khẳng định nào sau đây sai?
-
Cho bất phương trình \(m{.9^{2{x^2} - x}} - \left( {2m + 1} \right){6^{2{x^2} - x}} + m{4^{2{x^2} - x}} \le 0\). Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng \(\forall x \ge \dfrac{1}{2}\).
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D và \(AB = AD = a,\,\,DC = 2a\), tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là hình chiếu vuông góc vủa D trên AC và M là trung điểm H Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp S.BDM theo a
