Cho hàm số \(y = {x^3} - 3\left( {m + 3} \right){x^2} + 3\) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho qua điểm \(A\left( { - 1; - 1} \right)\) kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến \(\left( C \right)\), một tiếp tuyến là \({\Delta _1}:\,\,y = - 1\) và tiếp tuyến thứ hai là \({\Delta _2}\) thỏa mãn: \({\Delta _2}\) tiếp xúc với \(\left( C \right)\) tại N đồng thời cắt \(\left( C \right)\) tại P (khác N) có hoành độ bằng 3.
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTXĐ: \(D = R\), ta có \(y' = 3{x^2} - 6\left( {m + 3} \right)x\).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là:
\(y = \left( {3x_0^2 - 6\left( {m + 3} \right){x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3\left( {m + 3} \right)x_0^2 + 3\,\,\left( d \right)\).
Có một tiếp tuyến là \({\Delta _1}:\,\,y = - 1\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x_0^2 - 6\left( {m + 3} \right){x_0} = 0\\x_0^3 - 3\left( {m + 3} \right)x_0^2 + 3 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 2\left( {m + 3} \right)\end{array} \right.\\x_0^3 - 3\left( {m + 3} \right)x_0^2 + 3 = - 1\end{array} \right.\)
TH1: \({x_0} = 0 \Rightarrow 3 = - 1\) (vô nghiệm).
TH2: \({x_0} = 2\left( {m + 3} \right) \Rightarrow 8{\left( {m + 3} \right)^3} - 3\left( {m + 3} \right).4{\left( {m + 3} \right)^2} + 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow - 4{\left( {m + 3} \right)^3} + 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 3} \right)^3} = 1 \Leftrightarrow m + 3 = 1 \Leftrightarrow m = - 2\).
Thử lại khi \(m = - 2\), phương trình đường thẳng (d) trở thành \(y = \left( {3x_0^2 - 6{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3x_0^2 + 3\,\,\left( d \right)\)
\(\begin{array}{l}A\left( { - 1; - 1} \right) \in \left( d \right) \Rightarrow - 1 = \left( {3x_0^2 - 6{x_0}} \right)\left( { - 1 - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3x_0^2 + 3\\ \Leftrightarrow - 1 = - 3x_0^2 + 6{x_0} - 3x_0^3 + 6x_0^2 + x_0^3 - 3x_0^2 + 3\\ \Leftrightarrow 2x_0^3 - 6{x_0} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = - 1\end{array} \right.\end{array}\)
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt, do đó từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số khi \(m = - 2\) (tm).
Vậy \(m = - 2\).
Chọn A.
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
.JPG)
-
Cho khối chóp tứ giác đều \(SABCD\) có cạnh đáy là \(a,\) các mặt bên tạo với đáy một góc \({60^0}.\) Tính thể tích khối chóp đó.
-
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng \(1\), điểm \(M\) là trung điểm \(CD\). Cho hình vuông \(ABCD\) (tất cả các điểm trong của nó) quay quanh trục là đường thẳng \(AM\) ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích của khối tròn xoay đó.
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(R\) và có bảng biến thiên:
.JPG)
Khẳng định nào sai?
-
Cho bất phương trình \(m{.9^{2{x^2} - x}} - \left( {2m + 1} \right){6^{2{x^2} - x}} + m{4^{2{x^2} - x}} \le 0\). Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng \(\forall x \ge \dfrac{1}{2}\).
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên R thỏa mãn \(f'\left( x \right) + 2x.f\left( x \right) = {e^{ - {x^2}}}\,\,\forall x \in R\) và \(f\left( 0 \right) = 0\). Tính \(f\left( 1 \right)\).
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên. Hàm số \(y = f\left( {3 - x} \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
.JPG)
-
Phương trình \({\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin x\cos x = 1\) có bao nhiêu nghiệm thuộc \(\left[ {0;3\pi } \right]\).
-
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{3x}}.\)
-
Tìm số hạng không chứ x trong khai triển của \({\left( {{x^2} - \dfrac{1}{x}} \right)^{12}}.\)
-
Tính diện tích xung quanh S của khối trụ có bán kính đáy \(r = 4\) và chiều cao \(h = 3.\)
-
Gọi K là tập nghiệm của bất phương trình \({7^{2x + \sqrt {x + 1} }} - {7^{2 + \sqrt {x + 1} }} + 2018x \le 2018\). Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số \(y = 2{x^3} - 3\left( {m + 2} \right){x^2} + 6\left( {2m + 3} \right)x - 3m + 5\) đồng biến trên K là \(\left[ {a - \sqrt b ; + \infty } \right)\), với a, b là các số thự Tính \(S = a + b\).
-
Biết \(\int\limits_{}^{} {\dfrac{{x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}dx} = a\ln \left| {x - 1} \right| + b\ln \left| {x - 2} \right| + C\,\,\left( {a,b \in R} \right)\). Tính giá trị của biểu thức \(a + b\)
-
Tính độ dài đường cao của tứ diện đều có cạnh \(a\)
-
Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \({9^{{x^2} - 3x + 2}} = 1.\)
-
Tìm nguyên hàm \(\int\limits_{}^{} {\dfrac{1}{{x\sqrt {\ln x + 1} }}dx} \).
-
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \log { _3}\left( {{x^2} - x - 2} \right).\)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với \(A\left( {1;2;1} \right);\,\,B\left( { - 3;0;3} \right)\,\,C\left( {2;4; - 1} \right)\). Tìm tọa đô điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành ?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x}\) và \(f\left( 0 \right) = 1.\) Tính \(f\left( 2 \right).\)
-
Việt Nam là quốc gia nằm ở phía Đông của bán đảo Đông Dương thuộc khu vực Đông Nam Á. Với dân số ước tính 93,7 triệu dân vào đầu năm 2018, Việt Nam la quốc gia đông dân thứ 15 trên thế giới và là quốc gia đông dân thứ 8 của châu Á, tỉ lệ tăng dân số hằng năm là 1,2%. Gia sử rằng tỉ lệ tăng dân số từ năm 2018 đến năm 2030 không thay đổi từ dân số nước ta đầu năm 2030 khoảng bao nhiêu?
