Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)x-{{m}^{3}}\) với \(m\) là tham số; gọi \(\left( C \right)\) là đồ thị của hàm số đã cho. Biết rằng, khi \(m\) thay đổi, điểm cực đại của đồ thị \(\left( C \right)\) luôn nằm trên một đường thẳng \(d\) cố định. Xác định hệ số góc \(k\) của đường thẳng \(d.\)
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \({y}'=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}-1 \right);\,\,\,{y}'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=m+1 \\& x=m-1 \\\end{align} \right..\)
Dễ thấy \(m+1>m-1\) và \(a=1>0\Rightarrow x=m-1\) là điểm cực đại của đồ thị \(\left( C \right).\)
Khi đó \(\begin{align} & y\left( m-1 \right)={{\left( m-1 \right)}^{3}}-3m{{\left( m-1 \right)}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)\left( m-1 \right)-{{m}^{3}} \\ & y\left( m-1 \right)={{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+3m-1-3{{m}^{3}}+6{{m}^{2}}-3m+3{{m}^{3}}-3{{m}^{2}}-3m+3-{{m}^{3}} \\& y\left( m-1 \right)=-3m+2 \\\end{align}\)
Suy ra
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = m - 1\\
y = 2 - 3m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x = 3m - 3\\
y = 2 - 3m
\end{array} \right. \Leftrightarrow 3x + y + 1 = 0.\)
Vậy điểm cực đại của đồ thị \(\left( C \right)\) thuộc đường thẳng cố định \(d:3x+y+1=0\Rightarrow k=-3.\)
Chọn A.