Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB=a\sqrt{3},\,\,AD=a.\) Tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo \(a\) diện tích \(S\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD.\)
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiCách 1:
Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật \(ABCD\) là \({{R}_{ABCD}}=a.\)
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \({{R}_{\Delta \,ABC}}=a\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{3}=a.\)
Áp dụng công thức tính nhanh, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) là
\(R=\sqrt{R_{ABCD}^{2}+R_{\Delta \,ABC}^{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-\frac{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.\)
Vậy diện tích mặt cầu cần tính là \(S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .{{\left( \frac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}=5\pi {{a}^{2}}.\)
Cách 2 :
Gọi H là trung điểm của \(AB\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\)
Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD \(\Rightarrow \) O là tâm đường tròn ngoại tiếp \(ABCD\).
Qua O kẻ đường thẳng \({{d}_{1}}//SH\Rightarrow {{d}_{1}}\bot \left( ABCD \right)\) tại O.
Gọi \(G\) là tâm tam giác đều \(ABC,\) qua G kẻ \({{d}_{2}}//HI\Rightarrow {{d}_{2}}\bot \left( ABC \right)\) tại G.
Gọi \(I={{d}_{1}}\cap {{d}_{2}}\Rightarrow I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp chóp \(S.ABCD\).
Ta có : \(IO=GH=\frac{1}{3}SH=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{2};AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=2a\Rightarrow AO=\frac{1}{2}AC=a\).
Xét tam giác vuông AIO có \(IA=\sqrt{I{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)
Vậy diện tích mặt cầu cần tính là \(S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .{{\left( \frac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}=5\pi {{a}^{2}}.\)
Chọn A.