Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} {3^{2x + \sqrt {x + 1} }} - {3^{2 + \sqrt {x + 1} }} + 2020x - 2020 \le 0\\ {x^2} - \left( {m + 2} \right)x - {m^2} + 3 \ge 0 \end{array} \right.\) (m là tham số). Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hệ bất phương trình đã cho có nghiệm. Tính tổng các phần tử của S.
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện xác định: \(x\ge -1\).
Ta có: \({{3}^{2x+\sqrt{x+1}}}-{{3}^{2+\sqrt{x+1}}}+2020x-2020\le 0\Leftrightarrow {{3}^{2x+\sqrt{x+1}}}+2020x\le {{3}^{2+\sqrt{x+1}}}+2020\)
\(\Leftrightarrow {{3}^{2x+\sqrt{x+1}}}+1010\left( 2x+\sqrt{x+1} \right)\le {{3}^{2+\sqrt{x+1}}}+1010\left( 2+\sqrt{x+1} \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right)={{3}^{t}}+1010t\) trên \(\mathbb{R}\).
Dễ dàng nhận thấy \({f}'\left( t \right)>0,\,\forall t\in \mathbb{R}\), suy ra hàm số \(f\left( t \right)={{3}^{t}}+1010t\) là hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Do đó \(f\left( 2x+\sqrt{x+1} \right)\le f\left( 2+\sqrt{x+1} \right)\Leftrightarrow 2x+\sqrt{x+1}\le 2+\sqrt{x+1}\Leftrightarrow -1\le x\le 1\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({{3}^{2x+\sqrt{x+1}}}-{{3}^{2+\sqrt{x+1}}}+2020x-2020\le 0\) là \(\left[ -1\,;\,1 \right]\).
Hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình \({{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x-{{m}^{2}}+3\ge 0\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ -1\,;\,1 \right]\). Gọi \(g\left( x,m \right)={{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x-{{m}^{2}}+3\).
TH1: \(\Delta ={{\left( m+2 \right)}^{2}}+4{{m}^{2}}-12\le 0\Leftrightarrow 5{{m}^{2}}+4m-8\le 0\Leftrightarrow \frac{-2-2\sqrt{11}}{5}\le m\le \frac{-2+2\sqrt{11}}{5}\), khi đó \(g\left( x,m \right)\ge 0\,,\,\forall x\in \mathbb{R}\) (thỏa điều kiện đề bài).
TH2: \(\Delta ={{\left( m+2 \right)}^{2}}+4{{m}^{2}}-12>0\left[ \begin{align} & m>\frac{-2+2\sqrt{11}}{5} \\ & m<\frac{-2-2\sqrt{11}}{5} \\ \end{align} \right.\), khi đó \(g\left( x,\,m \right)=0\) có hai nghiệm \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}\).
Để \(g\left( x,\,m \right)\ge 0\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ -1\,;\,1 \right]\) khi \(\left[ \begin{align} & {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 1 \\ & -1\le {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \\ \end{align} \right.\).
KN1: Xét \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 1\), tức là \(\left\{ \begin{align} & g\left( 1,m \right)\ge 0 \\ & \frac{m+2}{2}<1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{align} & -{{m}^{2}}-m+2\ge 0 \\ & m<0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow -2\le m<0\).
KN2: Xét \(-1\le {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\), tức là \(\left\{ \begin{align} & g\left( -1,m \right)\ge 0 \\ & \frac{m+2}{2}>-1 \\ \end{align} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & -{{m}^{2}}+m+6\ge 0 \\ & m>-4 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow -2\le m\le 3\).
Từ các trường hợp (1) và (2) vậy ta có \(m\in \left[ -2\,;\,3 \right]\) thì hệ bất phương trình trên có nghiệm.
Vì \(m\in \mathbb{Z}\) nên tập hợp \(S=\left\{ -2\,;\,-1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,3 \right\}\).
Vậy tổng các phần tử trong tập hợp S bằng 3.
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=3{{x}^{2}}+{{\text{e}}^{x}}\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng
-
Cho số phức z=a+bi thỏa mãn \((z+1+i)(\bar{z}-i)+3 i=9\) và \(|\bar{z}|>2\). Tính P=a+b.
-
Đạo hàm của hàm số \(y={{2}^{{{x}^{2}}}}\) là
-
Chọn ngẫu nhiên một quân bài trong bộ bài tây 52 quân. Xác suất đề chọn được một quân 2 bằng:
-
Cho số phức z=12i. Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w=iz trên mặt phẳng tọa độ?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}\) và hàm số \(y=g\left( x \right)={{x}^{2}}-{{m}^{2}}\), với \(0<m<\sqrt{2}\) là tham số thực. Gọi \({{S}_{1}},\,{{S}_{2}},\,{{S}_{3}},\,{{S}_{4}}\) là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Ta có diện tích \({{S}_{1}}+{{S}_{4}}={{S}_{2}}+{{S}_{3}}\) tại \({{m}_{0}}\). Chọn mệnh đề đúng.
.jpg.png)
-
Thể tích của khối cầu có đường kính 6 bằng
-
Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( 2\,;\,3\,;\,-1 \right),B\left( 1\,;\,-1\,;\,2 \right)\) có phương trình tham số là:
-
Cho \(I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x=3}\). Khi đó \(J=\int\limits_{0}^{2}{\left[ 4f\left( x \right)-3 \right]\text{d}x}\) bằng
-
Giả sử z là số phức thỏa mãn \(\left| iz-2-i \right|=3\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(2\left| z-4-i \right|+\left| z+5+8i \right|\) có dạng \(\sqrt{\overline{abc}}\). Khi đó a+b+c bằng
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Điềm cực đại của hàm số đã cho là:
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta: \frac{x+1}{2}= \frac{y}{-1}=\frac{z+2}{2}\) và mặt phẳng (P): x+y-z+1=0. Đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt và vuông góc với \(\Delta\) có phương trình là
-
Cho cấp số nhân \(\left( {{u}_{n}} \right)\), biết \({{u}_{1}}=1;{{u}_{4}}=64\). Tính công bội q của cấp số nhân.
-
Cho số phức z=1+2i. Môđun của số phức \(\left( 1+i \right)z\) bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A(1\,;2\,;\,3)\) và \(B(3\,;\,4\,;\,-1)\). Véc tơ \(\overrightarrow{AB}\) có tọa độ là
-
Một hình lập phương có cạnh là 4, một hình trụ có đáy nội tiếp đáy hình lập phương chiều cao bằng chiều cao hình hình lập phương. Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng
-
Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên \(\mathbb{R} ?\)
-
Nếu \(\int\limits_{0}^{2}{\left[ f\left( x \right)-x \right]}dx=1\) thì \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}\) bằng
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 4 và độ dài cạnh bên bằng 5 (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ S đến mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng
.png)
-
Cho hàm số y = g(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
