Giả sử z là số phức thỏa mãn \(\left| iz-2-i \right|=3\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(2\left| z-4-i \right|+\left| z+5+8i \right|\) có dạng \(\sqrt{\overline{abc}}\). Khi đó a+b+c bằng
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(\left| iz-2-i \right|=3\Leftrightarrow \left| i \right|.\left| z-\frac{2+i}{i} \right|=3\Leftrightarrow \left| z-1+2i \right|=3\left( 1 \right)\)
Gọi \(z=a+bi\) với \(a,b\in \mathbb{R}\).
Từ (1), ta có \({{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}=9\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=1+3\sin t \\ & b=-2+3\cos t \\ \end{align} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)\).
Suy ra \(z=\left( 1+3\sin t \right)+\left( -2+3\cos t \right)i\).
Đặt \(P=2\left| z-4-i \right|+\left| z+5+8i \right|\). Khi đó:
\(\begin{align} & P=2\sqrt{{{\left( -3+3\sin t \right)}^{2}}+{{\left( -3+3\cos t \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 6+3\sin t \right)}^{2}}+{{\left( 6+3\cos t \right)}^{2}}} \\ & \,\,\,\,\,=6\sqrt{3-2\sin t-2\cos t}+3\sqrt{9+4\sin t+4\cos t}=6\sqrt{3-2\sqrt{2}\sin \left( t+\frac{\pi }{4} \right)}+3\sqrt{9+4\sqrt{2}\sin \left( t+\frac{\pi }{4} \right)} \\ \end{align}\)
Đặt \(u=\sin \left( t+\frac{\pi }{4} \right), u\in \left[ -1;1 \right]\).
Xét hàm số \(f\left( u \right)=6\sqrt{3-2\sqrt{2}u}+3\sqrt{9+4\sqrt{2}u}\) trên đoạn \(\left[ -1;1 \right]\)
\(f'\left( u \right)=\frac{-6\sqrt{2}}{\sqrt{3-2\sqrt{2}u}}+\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{9+4\sqrt{2}u}}\).
Cho \(f'\left( u \right)=0\Rightarrow u=\frac{-1}{\sqrt{2}}\in \left[ -1;1 \right]\)
Ta có bảng biến thiên của hàm số \(f\left( u \right)\):
.png)
Do vậy giá trị lớn nhất của là \(9\sqrt 5 \). Dấu bằng xảy ra khi
\(u = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \sin \left( {t + \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ t = \pi + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} z = - 2 - 2i\\ z = 1 - 5i \end{array} \right.\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ dưới đây
.jpg.png)
Gọi \(m,\,n\) là số điểm cực đại, số điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right)=\left| {{f}^{3}}\left( x \right)-3f\left( x \right) \right|\). Đặt \(T={{n}^{m}}\) hãy chọn mệnh đề đúng?
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): 2x-y+2z-14=0 và quả cầu \(\left( S \right):\,{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9\). Tọa độ điểm \(H\left( a;b;c \right)\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho khoảng cách từ H đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là lớn nhất. Gọi \(A,\,B,\,C\) lần lượt là hình chiếu của H xuống mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\,,\,\left( Oyz \right)\,,\,\left( Ozx \right)\). Gọi S là diện tích tam giác ABC, hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
-
Cho số phức z=a+bi thỏa mãn \((z+1+i)(\bar{z}-i)+3 i=9\) và \(|\bar{z}|>2\). Tính P=a+b.
-
Nghiệm của phương trình \({\log _9}\left( {x + 1} \right) = \frac{1}{2}\) là
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Điềm cực đại của hàm số đã cho là:
-
Từ một nhóm học sinh gồm 5 nam và 8 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra hai học sinh?
-
Cho cấp số nhân \(\left( {{u}_{n}} \right)\), biết \({{u}_{1}}=1;{{u}_{4}}=64\). Tính công bội q của cấp số nhân.
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A(1\,;2\,;\,3)\) và \(B(3\,;\,4\,;\,-1)\). Véc tơ \(\overrightarrow{AB}\) có tọa độ là
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu \((S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2\text{x}-4y+2\text{z}=1\) có tâm là
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm tại gốc tọa độ và đi qua điểm \(A\left( 0;3;0 \right)\) có phương trình là:
-
Một khối chóp tam giác có diện tích đáy bằng 4 và chiều cao bằng 3. Thề tích của khối chóp đó bằng
-
Phần không gian bên trong của chai nước ngọt có hình dạng như hình bên.
.PNG)
Biết bán kính đáy bằng \(R=5 \mathrm{~cm}\), bán kính cổ \(r=2 c m, A B=3 \mathrm{~cm}, B C=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{CD}=16 \mathrm{~cm} .\) Thể tích phần không gian bên trong của chai nước ngọt đó bằng
-
Cho hàm số y = g(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Một hình lập phương có cạnh là 4, một hình trụ có đáy nội tiếp đáy hình lập phương chiều cao bằng chiều cao hình hình lập phương. Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({2^{{x^2} + 2}} \le 8\) là
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta: \frac{x+1}{2}= \frac{y}{-1}=\frac{z+2}{2}\) và mặt phẳng (P): x+y-z+1=0. Đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt và vuông góc với \(\Delta\) có phương trình là
-
Cho \(I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x=3}\). Khi đó \(J=\int\limits_{0}^{2}{\left[ 4f\left( x \right)-3 \right]\text{d}x}\) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=3{{x}^{2}}+{{\text{e}}^{x}}\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng
-
Tiệm cận đúng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x + 4}}{{x - 2}}\) là đường thẳng:
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=1+2i\) và \({{z}_{2}}=2-3i\). Phần ảo của số phức liên hợp \(z=3{{z}_{1}}-2{{z}_{2}}\).
