Giả sử z là số phức thỏa mãn \(\left| iz-2-i \right|=3\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(2\left| z-4-i \right|+\left| z+5+8i \right|\) có dạng \(\sqrt{\overline{abc}}\). Khi đó a+b+c bằng
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(\left| iz-2-i \right|=3\Leftrightarrow \left| i \right|.\left| z-\frac{2+i}{i} \right|=3\Leftrightarrow \left| z-1+2i \right|=3\left( 1 \right)\)
Gọi \(z=a+bi\) với \(a,b\in \mathbb{R}\).
Từ (1), ta có \({{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}=9\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=1+3\sin t \\ & b=-2+3\cos t \\ \end{align} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)\).
Suy ra \(z=\left( 1+3\sin t \right)+\left( -2+3\cos t \right)i\).
Đặt \(P=2\left| z-4-i \right|+\left| z+5+8i \right|\). Khi đó:
\(\begin{align} & P=2\sqrt{{{\left( -3+3\sin t \right)}^{2}}+{{\left( -3+3\cos t \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 6+3\sin t \right)}^{2}}+{{\left( 6+3\cos t \right)}^{2}}} \\ & \,\,\,\,\,=6\sqrt{3-2\sin t-2\cos t}+3\sqrt{9+4\sin t+4\cos t}=6\sqrt{3-2\sqrt{2}\sin \left( t+\frac{\pi }{4} \right)}+3\sqrt{9+4\sqrt{2}\sin \left( t+\frac{\pi }{4} \right)} \\ \end{align}\)
Đặt \(u=\sin \left( t+\frac{\pi }{4} \right), u\in \left[ -1;1 \right]\).
Xét hàm số \(f\left( u \right)=6\sqrt{3-2\sqrt{2}u}+3\sqrt{9+4\sqrt{2}u}\) trên đoạn \(\left[ -1;1 \right]\)
\(f'\left( u \right)=\frac{-6\sqrt{2}}{\sqrt{3-2\sqrt{2}u}}+\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{9+4\sqrt{2}u}}\).
Cho \(f'\left( u \right)=0\Rightarrow u=\frac{-1}{\sqrt{2}}\in \left[ -1;1 \right]\)
Ta có bảng biến thiên của hàm số \(f\left( u \right)\):
.png)
Do vậy giá trị lớn nhất của là \(9\sqrt 5 \). Dấu bằng xảy ra khi
\(u = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \sin \left( {t + \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ t = \pi + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} z = - 2 - 2i\\ z = 1 - 5i \end{array} \right.\)
Câu hỏi liên quan
-
Thể tích của khối cầu có đường kính 6 bằng
-
Tiệm cận đúng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x + 4}}{{x - 2}}\) là đường thẳng:
-
Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( 2\,;\,3\,;\,-1 \right),B\left( 1\,;\,-1\,;\,2 \right)\) có phương trình tham số là:
-
Chọn ngẫu nhiên một quân bài trong bộ bài tây 52 quân. Xác suất đề chọn được một quân 2 bằng:
-
Cho \(I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x=3}\). Khi đó \(J=\int\limits_{0}^{2}{\left[ 4f\left( x \right)-3 \right]\text{d}x}\) bằng
-
Cho cấp số nhân \(\left( {{u}_{n}} \right)\), biết \({{u}_{1}}=1;{{u}_{4}}=64\). Tính công bội q của cấp số nhân.
-
Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên \(\mathbb{R} ?\)
-
Phần không gian bên trong của chai nước ngọt có hình dạng như hình bên.
.PNG)
Biết bán kính đáy bằng \(R=5 \mathrm{~cm}\), bán kính cổ \(r=2 c m, A B=3 \mathrm{~cm}, B C=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{CD}=16 \mathrm{~cm} .\) Thể tích phần không gian bên trong của chai nước ngọt đó bằng
-
Cho số phức z=12i. Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w=iz trên mặt phẳng tọa độ?
-
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây đi qua điểm \(M(1\,;\,-2\,;\,1)\) và có véc tơ pháp tuyên \(\vec{n}=\left( 1\,;\,2\,;\,3 \right)\) là:
-
Với a và b là các số thực dương và \(a\ne 1\). Biểu thức \({{\log }_{a}}\left( {{a}^{2}}b \right)\) bằng
-
Từ một nhóm học sinh gồm 5 nam và 8 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra hai học sinh?
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 4 và độ dài cạnh bên bằng 5 (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ S đến mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng
.png)
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm tại gốc tọa độ và đi qua điểm \(A\left( 0;3;0 \right)\) có phương trình là:
-
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} {3^{2x + \sqrt {x + 1} }} - {3^{2 + \sqrt {x + 1} }} + 2020x - 2020 \le 0\\ {x^2} - \left( {m + 2} \right)x - {m^2} + 3 \ge 0 \end{array} \right.\) (m là tham số). Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hệ bất phương trình đã cho có nghiệm. Tính tổng các phần tử của S.
-
Nghiệm của phương trình \({\log _9}\left( {x + 1} \right) = \frac{1}{2}\) là
-
Nghiệm của phương trình \({2^{x + 1}} = 16\) là
-
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y={{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-3\) trên đoạn \(\left[ -1\,;\,2 \right]\). Tổng M+m bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta: \frac{x+1}{2}= \frac{y}{-1}=\frac{z+2}{2}\) và mặt phẳng (P): x+y-z+1=0. Đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt và vuông góc với \(\Delta\) có phương trình là
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
.PNG)
