Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân có AB = BC = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, \(\angle SBA = {60^ \circ }\). Gọi M là điểm nằm trên AC sao cho \(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {CM} \). Tính khoảng cách giữa SM và AB.
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Trong (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song với AB, qua B kẻ đường thẳng song song với AM. Hai đường thẳng này cắt nhau tại E ta được tứ giác ABEM là hình bình hành.
Vì ME / / AB ⇒ AB / / ( SME)
⇒ d (AB; SM ) = d ( AB; (SME)) = d (A; (SME))
Từ A trong mặt phẳng (ABEM) kẻ AK \(\bot\) ME , lại có
ME \(\bot\) SA (do SA \(\bot\) (ABEM )) ⇒ EK \(\bot\) (SAK)
Trong (SAK) kẻ AH \(\bot\) SK tại H
Ta có AH \(\bot\) SK; EK \(\bot\) AH (do EK \(\bot\) (SAK)) ⇒ AH \(\bot\) (SKE) tại H.
Từ đó d(AB; SM ) = d(A; (SME )) = AH
+ Xét tam giác SBA vuông tại A có \(SA = AB.\tan SBA = a.\tan {60^0} = a\sqrt 3 .\)
+ Lại có tam giác ABC vuông cân tại B nên \(AC = AB\sqrt 2 = a\sqrt 2 \Rightarrow CM = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Do đó \(AM = AC + CM = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\)
+ Tam giác ABC vuông cân tại B nên ACB = 45° ⇒ CBE = ACB = 45° (hai góc so le trong)
Từ đó ABE = ABC + CBE = 90° + 45° = 135° , suy ra AME = 135° (hai góc đối hình bình hành)
Nên tam giác AME là tam giác tù nên K năm ngoài đoạn ME.
Ta có KMA = 180° - AME = 45° mà tam giác AMK vuông tại K nên tam giác AMK vuông cân tại K
\( \Rightarrow AK = \frac{{AM}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{3a}}{2}\)
+ Xét tam giác SAK vuông tại A có đường cao AH, ta có
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{\frac{{9{a^2}}}{4}}} \Rightarrow AH = \frac{{3a\sqrt 7 }}{7}\)
Vậy \(d\left( {AB;SM} \right) = \frac{{3a\sqrt 7 }}{7}.\)
Câu hỏi liên quan
-
Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng
-
Số phức liên hợp của số phức z = 3 - 2i là
-
Tập nghiệm của bất phương trình \(\log x \le 1\) là
-
Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x là:
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên R và \(\int\limits_2^8 {f(x)dx = 10} \). Tính \(I = \frac{3}{2}\int\limits_1^3 {f(3x - 1)dx} \)
-
Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x}\) và f(0) = 1. Tính f(2).
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau
.PNG)
Số nghiệm thực của phương trình \(f\left( x \right) = \frac{{ - 3}}{2}\) là
-
Cho mặt cầu có diện tích bằng \(16\pi\). Bán kính mặt cầu đã cho bằng
-
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(3;1;-1) trên trục Oy có tọa độ là
-
Nghiệm của phương trình 22x-1 = 32 là
-
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' thể tích là V. Tính thể tích của tứ diện ACB'D' theo V.
-
Cho hình trụ có đường cao bằng 8a. Một mặt phẳng song song với trục và cách trục hình trụ 3a, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông. Diện tích xung quanh và thể tích khối trụ bằng
-
Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^{\frac{1}{2}}}.{e^{\frac{x}{2}}}\), x = 1, x = 2, y = 0 quanh trục Ox được tính bởi biểu thức nào sau đây?
-
Phương trình \({2^{x - 2 + \sqrt[3]{{m - 3x}}}} + \left( {{x^3} - 6{x^2} + 9x + m} \right){2^{x - 2}} = {2^{x + 1}} + 1\) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(m \in (a;b)\), đặt T = b2 - a2 thì:
-
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{x + c}}\) có đồ thị như hình vẽ a, b, c là các số nguyên. Giá trị của biểu thức T = a - 3b + 2c bằng:
.png)
-
Cho hình nón có đường sinh bằng 3, diện tích xung quanh bằng \(12\pi\). Bán kính đáy của hình nón là:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} + a} \right|\). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [0;2]. Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [-3;3] sao cho \(M \le 2m\)?
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1;0;1) và N(3;2;-1). Đường thẳng MN có phương trình chính tắc là
-
Cho hàm số \(y = - {x^3} - m{x^2} + \left( {4m + 9} \right)x + 5\), với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên R?
-
Để quảng bá cho sản phẩm A, một công ty dự định tổ chức quảng cáo theo hình thức quảng cáo trên truyền hình. Nghiên cứu của công ty cho thấy : nếu sau n lần quảng cáo được phát thì tỷ lệ người xem quảng cáo đó mua sản phẩm A tuân theo công thức \(P\left( n \right) = \frac{1}{{1 + 49{e^{ - 0,015t}}}}\,\,\left( \% \right)\). Hỏi cần phát ít nhất bao nhiều lần quảng cáo để tỷ lệ người xem mua sản phẩm đạt trên 80% ?
