Phương trình \({2^{x - 2 + \sqrt[3]{{m - 3x}}}} + \left( {{x^3} - 6{x^2} + 9x + m} \right){2^{x - 2}} = {2^{x + 1}} + 1\) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(m \in (a;b)\), đặt T = b2 - a2 thì:
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \({2^{x - 2 + \sqrt[3]{{m - 3x}}}} + \left( {{x^3} - 6{x^2} + 9x + m} \right){2^{x - 2}} = {2^{x + 1}} + 1\)
\( \Leftrightarrow {2^{\sqrt[3]{{m - 3x}}}} + {\left( {x - 2} \right)^3} + 8 + m - 3x = {2^3} + {2^{2 - x}}\)
\(\Leftrightarrow {2^{\sqrt[3]{{m - 3x}}}} + m - 3x = {2^{2 - x}} + {\left( {2 - x} \right)^3}\)
Xét hàm \(f\left( t \right) = {2^t} + {t^3}\) trên R có \(f'\left( t \right) = {2^t}.\ln 2 + 3{t^2} > 0,\forall t \in R\) nên hàm số liên tục và đồng biến trên R.
Do đó từ (1) suy ra \(m - 3x = {\left( {2 - x} \right)^3} \Leftrightarrow m = 8 - 9x + 6{x^2} - {x^3}\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 8\) trên R có \(f'\left( x \right) = - 3{x^2} + 12x - 9\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3\\ x = 1 \end{array} \right.\).
Bảng biến thiên
.PNG)
Dựa vào bảng biến thiên ta có, phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi 4 < m < 8.
Suy ra \(a = 4;{\rm{ }}b = 8 \Rightarrow T = {b^2} - {a^2} = 48\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có \(AC = a;BC = 2a,\,\,\widehat {ACB} = 120^\circ \). Gọi M là trung điểm của BB'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC' theo a.
-
Biết \({\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} }=2\) và \({\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} } = -4\), khi đó \({\int\limits_0^1 [{f\left( x \right)} }+g(x)]dx\) bằng
-
Cho cấp số cộng (un) xác định bởi u1 = -1, công sai d = 2. Giá trị u5 bằng:
-
Hình dưới đây là đồ thị của hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + bx + c\).
.png)
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
-
Diện tích toàn phần của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng \(\sqrt3\) và thiết diện qua trục là tam giác đều bằng
-
Thể tích của khối lập phương cạnh 3 bằng
-
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
.png)
-
Cho mặt cầu có diện tích bằng \(16\pi\). Bán kính mặt cầu đã cho bằng
-
Để quảng bá cho sản phẩm A, một công ty dự định tổ chức quảng cáo theo hình thức quảng cáo trên truyền hình. Nghiên cứu của công ty cho thấy : nếu sau n lần quảng cáo được phát thì tỷ lệ người xem quảng cáo đó mua sản phẩm A tuân theo công thức \(P\left( n \right) = \frac{1}{{1 + 49{e^{ - 0,015t}}}}\,\,\left( \% \right)\). Hỏi cần phát ít nhất bao nhiều lần quảng cáo để tỷ lệ người xem mua sản phẩm đạt trên 80% ?
-
Cho hàm số f(x) có \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) và \(f'(x) = sinx.si{n^2}2x,\forall x \in R\). Khi đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(x)dx} \) bằng
-
Cho hình nón có đường sinh bằng 3, diện tích xung quanh bằng \(12\pi\). Bán kính đáy của hình nón là:
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x}\) và f(0) = 1. Tính f(2).
-
Thể tích của khối trụ có chiều cao h và bán kính đáy r là
-
Tập nghiệm của bất phương trình \(\log x \le 1\) là
-
Có 4 hành khách lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người là?
-
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{x + c}}\) có đồ thị như hình vẽ a, b, c là các số nguyên. Giá trị của biểu thức T = a - 3b + 2c bằng:
.png)
-
Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^{\frac{1}{2}}}.{e^{\frac{x}{2}}}\), x = 1, x = 2, y = 0 quanh trục Ox được tính bởi biểu thức nào sau đây?
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1;0;1) và N(3;2;-1). Đường thẳng MN có phương trình chính tắc là
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên R và \(\int\limits_2^8 {f(x)dx = 10} \). Tính \(I = \frac{3}{2}\int\limits_1^3 {f(3x - 1)dx} \)
