Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(\left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)\), \(AB=3a,\text{ }BC=5a\). Biết rằng \(SA=2a\sqrt{3}\) và \(\widehat{SAC}=30{}^\circ \). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) bằng:
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn B
* Ta có:
\(\left\{ \begin{align} & \left( SAC \right)\bot \left( ABC \right) \\ & \left( SAC \right)\cap \left( ABC \right)=AC \\ & AB\bot AC \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow AB\bot \left( SAC \right)\), \(AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=4a\).
* Theo định lý côsin ta có:
\(S{{C}^{2}}=A{{S}^{2}}+A{{C}^{2}}-2.AS.AC.\cos 30{}^\circ =16{{a}^{2}}+12{{a}^{2}}-2.4a.2a\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}=4{{a}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{S}^{2}}\)
\(\Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại \(S\).
* Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SB\) ta có
\(SC\bot \left( SAB \right)\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & AH\bot SB \\ & AH\bot SC \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)\)\( \Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=AH\), theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAB\) ta có:
\(\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{S}^{2}}}\)\( =\frac{1}{9{{a}^{2}}}+\frac{1}{12{{a}^{2}}}=\frac{7}{36{{a}^{2}}}\)\( \Rightarrow AH=\frac{6a\sqrt{7}}{7}\)\( =d\left( A;\left( SBC \right) \right)\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu