Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của BC và H là trung điểm của AM. Biết \(HB=HC,\widehat{HBC}={{30}^{0}};\) góc giữa mặt phẳng \(\left( SHC \right)\) và mặt phẳng \(\left( HBC \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Tính cô-sin của góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng \(\left( SHC \right)\).
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.jpg.png)
HB=HC nên tam giác HBC cân tại H, suy ra \(HM\bot BC\).
Trong mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) dựng \(AK\bot HC\Rightarrow HC\bot \left( SAK \right).\)
Mà góc giữa mặt phẳng \(\left( SHC \right)\) và \(\left( ABC \right)\) bằng \({{60}^{0}}\) nên \(\widehat{SKA}={{60}^{0}}.\)
Giả sử BC=a.
\(\Rightarrow BM=\frac{a}{2}\Rightarrow AH=HM=BM.\tan {{30}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)
\(\Rightarrow AK=AH.\sin {{60}^{0}}=\frac{a}{4}\Rightarrow SA=AK.\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{4}.\)
Trang bị hệ trục tọa độ Axyz với \(A\left( 0;0;0 \right),S\left( 0;0;\frac{\sqrt{3}}{4} \right),H\left( \frac{\sqrt{3}}{6};0;0 \right),C\left( \frac{\sqrt{3}}{3};\frac{1}{2};0 \right),B\left( \frac{\sqrt{3}}{3};\frac{-1}{2};0 \right).\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{SH}=\left( \frac{\sqrt{3}}{6};0;\frac{-\sqrt{3}}{4} \right),\overrightarrow{HC}=\left( \frac{\sqrt{3}}{6};\frac{1}{2};0 \right),\overrightarrow{BC}=\left( 0;1;0 \right).\)
Từ đó suy ra mặt phẳng \(\left( SHC \right)\) nhận \(\overrightarrow{n}=\left( 3\sqrt{3};-3;2\sqrt{3} \right)\) là véc-tơ pháp tuyến.
Ta có \(\sin \left( BC,\left( SHC \right) \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{n},\overrightarrow{BC} \right) \right|=\left| \frac{-3}{\sqrt{48}} \right|=\frac{\sqrt{3}}{4}\Rightarrow \cos \left( BC,\left( SHC \right) \right)=\frac{\sqrt{13}}{4}.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Đồng Đậu lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 2;-1;4 \right)\) và \(B\left( -1;3;2 \right).\) Đường thẳng AB có một véc-tơ chỉ phương là
-
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| z+2 \right|=\left| z+2i \right|.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left| z-1-2i \right|+\left| z-3-4i \right|+\left| z-5-6i \right|\) được viết dưới dạng \(\left( a+b\sqrt{17} \right)/\sqrt{2}\) với a,b là các hữu tỉ. Giá trị của a+b là
-
Cho \(\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)dx}=10.\) Khi đó \(\int\limits_{5}^{2}{\left[ 2-4f\left( x \right) \right]dx}\) bằng
-
Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7;8;9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số khác nhau?
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 1;1;1 \right).\) Một mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) thep giao tuyến là một đường tròn \(\left( C \right).\) Biết chu vi lớn nhất của \(\left( C \right)\) bằng \(2\pi \sqrt{2}.\) Phương trình của \(\left( S \right)\) là
-
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có \(AB=2a,AA'=a\sqrt{3}.\) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với \(HE=HM=\frac{AM}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}.\) và công sai d=1. Khi đó \({{u}_{3}}\) bằng
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=2-2i,{{z}_{2}}=-3+3i.\) Khi đó số phức \({{z}_{1}}-{{z}_{2}}\) là
-
Biết \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{3}}+3x}{{{x}^{2}}+3x+2}dx}=a+b\ln 2+c\ln 3\) với a, b, c là các số hữu tỉ, tính \(S=2a+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}.\)
-
Cho số phức \(z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R},a<0 \right)\) thỏa mãn \(1+\overline{z}={{\left| \overline{z}-i \right|}^{2}}+{{\left( iz-1 \right)}^{2}}.\) Tính \(\left| z \right|\).
-
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-9.\)
-
Có tất cả bao nhiêu cặp số thực \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \({{3}^{\left| {{x}^{2}}-2x-3 \right|-{{\log }_{3}}5}}={{5}^{-\left( y+4 \right)}}\) và \(4\left| y \right|-\left| y-1 \right|+{{\left( y+3 \right)}^{2}}\le 8.\)
-
Viết phương trình mặt cầu tâm \(I\left( 1;-2;3 \right)\) và bán kính R=2.
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{3}^{x}}>9\) là
-
Cho số phức \(z=7-i\sqrt{5}\). Phần thực và phần ảo của số phức \(\overline{z}\) lần lượt là
-
Cho hình hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao \(AA'=a\sqrt{3}.\) Gọi M là trung điểm của CC'. Tính thể tích của khối tứ diện BDA'M.
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\). Đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right)=3f\left( x \right)+{{x}^{3}}-15x+1\) là
.jpg.png)
-
Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số \(y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\) với a,b,c là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
.jpg.png)
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(a,SA\bot \left( ABCD \right)\) và SA=a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \(\left( SBD \right)\) bằng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số \(y=f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
.jpg.png)
