Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Điểm I thuộc SA. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng \(\frac{7}{13}\) lần phần còn lại. Tính tỉ số \(k=\frac{IA}{IS}\) ?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Đặt \(\frac{SI}{SA}=x\left( 0<x<1 \right).\)
Trong (ABCD) kéo dài MN cắt AD, CD lần lượt tại P, Q.
Trong (SAD) kéo dài PI cắt SD tại E.
Trong (SCD) nối QE cắt SC tại J.
Khi đó (IMN) cắt hình chóp theo thiết diện là IMNJE.
Mặt phẳng (IMN) chia khối chóp thành hai phần, gọi \({{V}_{1}}\) là phần thể tích chứa đỉnh S và \(V={{V}_{S.ABCD}}\)
Khi đó ta có: \(\frac{{{V}_{1}}}{V}=\frac{7}{20}.\)
Ta có: \({{V}_{1}}={{V}_{S.BMN}}+{{V}_{S.MNI}}+{{V}_{S.INJ}}+{{V}_{IJE}}.\)
+) \(\frac{{{V}_{S.BMN}}}{V}=\frac{{{S}_{BMN}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{1}{2}.\frac{BM}{BA}.\frac{BN}{BC}=\frac{1}{8}\Rightarrow {{V}_{S.BMN}}=\frac{V}{8}.\)
+) \(\frac{{{V}_{S.MNI}}}{{{V}_{S.MNA}}}=\frac{SI}{SA}=x\Rightarrow {{V}_{S.MNI}}=x{{V}_{S.MNA}}\)
\(\frac{{{V}_{S.MNA}}}{V}=\frac{{{S}_{MNA}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{\frac{1}{2}{{S}_{ABN}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{1}{8}\Rightarrow {{V}_{S.MNA}}=\frac{1}{8}V\)
\(\Rightarrow {{V}_{S.MNI}}=\frac{x}{8}V.\)
+) \(\frac{{{V}_{S.INJ}}}{{{V}_{S.ANC}}}=\frac{SI}{SA}.\frac{SJ}{SC}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {IMN} \right) \cap \left( {SAC} \right) = IJ\\ \left( {IMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\\ \left( {SAC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC \end{array} \right.,\) lại có MN // AC (do MN là đường trung bình của tam giác ABC)
\(\Rightarrow IJ//MN\Rightarrow \frac{SI}{SA}=\frac{SJ}{SC}=x.\)
\(\Rightarrow \frac{{{V}_{S.INJ}}}{{{V}_{S.ANC}}}=\frac{SI}{SA}.\frac{SJ}{SC}={{x}^{2}}\Rightarrow {{V}_{S.INJ}}={{x}^{2}}{{V}_{S.ANC}}.\)
\(\frac{{{V}_{S.ANC}}}{V}=\frac{{{S}_{ANC}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{\frac{1}{2}{{S}_{ABC}}}{ABCD}=\frac{1}{4}.\)
\(\Rightarrow {{V}_{S.INJ}}=\frac{{{x}^{2}}}{4}V.\)
+) \(\frac{{{V}_{S.IJE}}}{{{V}_{S.ACD}}}=\frac{SI}{SA}.\frac{SJ}{SC}.\frac{SE}{SD}={{x}^{2}}\frac{SE}{SD}.\)
Dễ dàng chứng minh được \(\Delta BMN=\Delta CQN\left( g.c.g \right)\Rightarrow BM=CQ=\frac{1}{2}CD.\)
\(\Rightarrow DQ=3CQ=3AM\Rightarrow \frac{AM}{DQ}=\frac{PA}{PD}=\frac{1}{3}.\)
Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác SAD ta có:
\(\frac{PA}{PD}.\frac{ED}{ES}.\frac{IS}{IA}=1\Rightarrow \frac{1}{3}.\frac{ED}{ES}.\frac{x}{1-x}=1\Leftrightarrow \frac{ED}{ES}=\frac{3\left( 1-x \right)}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{ED+ES}{ES}=\frac{3-2x}{x}\Rightarrow \frac{SE}{SD}=\frac{x}{3-2x}\)
\(\Rightarrow \frac{{{V}_{S.IJE}}}{{{V}_{S.ACD}}}={{x}^{2}}\frac{SE}{SD}={{x}^{2}}.\frac{x}{3-2x}=\frac{{{x}^{3}}}{3-2x}.\)
Mà \({{V}_{S.ACD}}=\frac{1}{2}V\Rightarrow {{V}_{S.IJE}}=\frac{{{x}^{3}}}{6-4x}V.\)
Khi đó ta có:
\({{V}_{1}}={{V}_{S.BMN}}+{{V}_{S.MNI}}+{{V}_{S.INJ}}+{{V}_{S.IJE}}\)
\(=\frac{V}{8}+\frac{x}{8}V+\frac{{{x}^{2}}}{4}V+\frac{{{x}^{3}}}{6-4x}V\)
\(=\left( \frac{1}{8}+\frac{x}{8}+\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{x}^{3}}}{6-4x} \right)V\)
\(\Rightarrow \frac{1}{8}+\frac{x}{8}+\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{x}^{3}}}{6-4x}=\frac{7}{20}\)
Thử đáp án:
Đáp án A: \(k=\frac{IA}{IS}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{SI}{SA}=\frac{2}{3}\Rightarrow \) Loại
Đáp án B: \(k=\frac{IA}{IS}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{SI}{SA}=\frac{3}{5}\Rightarrow \) Thỏa mãn.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Chuyên Long An lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=\frac{2x+1}{x-1}.\) Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là:
-
Đồ thị hàm số \(y=\frac{{{x}^{4}}}{2}-{{x}^{2}}+3\) có mấy điểm cực trị
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng \(a\) và mặt bên tạo với đáy một góc 45°. Thể tích \(V\) của khối chóp S.ABCD là:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên dưới. Xét hàm số \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-3 \right)\) và các mệnh đề sau:
I. Hàm số \(g\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị.
II. Hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x=0.\)
III. Hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực đại tại \(x=2.\)
IV. Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( -2;0 \right)\).
V. Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( -1;1 \right).\)
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?
.jpg.png)
-
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D'. Biết \(AC=2a\) và cạnh bên \(AA'=a\sqrt{2}.\) Thể tích lăng trụ đó là:
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(a\) để đồ thị hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}+2}{{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}}\) có 3 đường tiệm cận.
-
Cho hàm số \(y=\frac{x-1}{x+1}\) có đồ thị là (C). Tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung có phương trình là:
-
Cho đồ thị hàm số \(y=\frac{\sqrt{4-{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}-3x-4}\) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
-
Hàm số nào trong bốn hàm số sau có bảng biến thiên như hình vẽ sau?
.png)
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với \(AB=2a,AD=a.\) Tam giác SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 45°. Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD là:
-
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có \(AB=a,AD=b,AA'=c.\) Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
-
Có hai bút chì màu, các bút chì khác nhau. Hộp thứ nhất có 5 bút chì màu đỏ và 7 bút chì màu xanh. Hộp thứ hai có 8 bút chì đỏ và 4 bút chì màu xanh. Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp một cây bút chì. Xác suất để có 1 cây bút chì màu đỏ và 1 cây bút chì màu xanh là:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
.png)
-
Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-\frac{3}{2}{{x}^{2}}+1.\) Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left( -25;\frac{11}{10} \right).\) Tìm M.
-
Hàm số \(y=\left| {{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( x+1 \right) \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng \(a,\) cạnh bên bằng \(a\sqrt{3}.\) Gọi O là tâm của đáy \(ABC,{{d}_{1}}\) là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và \({{d}_{2}}\) là khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng (SBC). Tính \(d={{d}_{1}}+{{d}_{2}}.\)
-
Trong bài thi thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua một sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Hãy cho biết chiến sĩ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất? Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sĩ 1km theo đường chim bay và chiến sĩ cách bờ bên kia 100m.
-
Một hộp đựng 40 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 40. Rút ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Tính xác suất để lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó có đúng một thẻ mang số chia hết cho 6.
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 45°. Gọi \({{V}_{1}};{{V}_{2}}\) lần lượt là thể tích khối chóp S.AHK và S.ACD với H, K lần lượt là trung điểm của SC và SD. Tính độ dài đường cao của khối chóp S.ABCD và tỉ số \(k=\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}.\)
-
Biết rằng đồ thị hàm số \(y=\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-7 \right)-m\) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là \({{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}};{{x}_{4}}.\) Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để \(\frac{1}{1-{{x}_{1}}}+\frac{1}{1-{{x}_{2}}}+\frac{1}{1-{{x}_{3}}}+\frac{1}{1-{{x}_{4}}}>1?\)
