Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), tâm \(O\). Cạnh bên \(SA = 2a\) và vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(BC\) và \(CD\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(HK\) và \(SD\).
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi I, E lần lượt là trung điểm của SC, OC
Dựng OJ vuông góc IE, (J thuộc IE)
IK là đường trung bình của tam giác SBC
\( \Rightarrow IK//SB\,\,\, \Rightarrow SB//\left( {IHK} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {SB;HK} \right) = d\left( {SB;\left( {IHK} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {IHK} \right)} \right)\)
Lại có: \(BO//HK \Rightarrow d\left( {B;\left( {IHK} \right)} \right) = d\left( {O;\left( {IHK} \right)} \right)\)
Ta có: \(HK//BD\), mà \(BD \bot SA,\,\,BD \bot AC\) (do ABCD là hình vuông)
\( \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\,\, \Rightarrow HK \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow HK \bot OJ\)
Mà \(IE \bot OJ \Rightarrow OJ \bot \left( {IHK} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {IHK} \right)} \right) = OJ\)
* Tính OJ:
\(OE = \dfrac{1}{2}OC = \dfrac{1}{4}AC = \dfrac{1}{4}.a\sqrt 2 = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\); \(OI = \dfrac{1}{2}SA = \dfrac{1}{2}.2a = a\)
Tam giác OIE vuông tại O, OJ vuông góc IE \( \Rightarrow \dfrac{1}{{O{J^2}}} = \dfrac{1}{{O{I^2}}} + \dfrac{1}{{O{E^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{{{a^2}}}{8}}} = \dfrac{9}{{{a^2}}} \Rightarrow OJ = \dfrac{a}{3}\) \( \Rightarrow d\left( {SB;HK} \right) = \dfrac{a}{3}\).
Chọn: A