Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là một tam giác vuông cân tại B với trọng tâm G, cạnh bên SA tạo với đáy (ABC) một góc \(30^0\). Biết hai mặt phẳng (SBG) và (SCG) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SA và BC.
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SBG} \right) \bot \left( {ABG} \right)\\
\left( {SCG} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\
\left( {SBG} \right) \bot \left( {SCG} \right) = SG
\end{array} \right. \Rightarrow SG \bot \left( {ABC} \right)\)
Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, SC, BC, AC.
Đặt \(AB = BC = 1 \Rightarrow AC = \sqrt 2 \)
Ta có: \(\angle \left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SA;GA} \right) = \angle SAG = {30^0}\)
Ta có NQ là đường trung bình của tam giác \(SAC \Rightarrow NQ//SA\)
MQ là đường trung bình của tam giác \(ABC \Rightarrow MQ//BC\)
\( \Rightarrow \angle \left( {SA;BC} \right) = \angle \left( {NQ;MQ} \right)\)
Ta có: \(AP = \sqrt {1 + \frac{1}{4}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2} = CM \Rightarrow AG = \frac{2}{3}AP = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)
\( \Rightarrow SG = AG.\tan {30^0} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{\sqrt {15} }}{9};SA = \frac{{AG}}{{\cos {{30}^0}}} = \frac{{2\sqrt {15} }}{9}\)
\( \Rightarrow NQ = \frac{1}{2}SA = \frac{{\sqrt {15} }}{9}\) và \(MQ = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}\)
Ta có \(MC = \frac{{\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow GC = \frac{2}{3}MC = \frac{{\sqrt 5 }}{3};GM = \frac{1}{3}MC = \frac{{\sqrt 5 }}{6}\)
Áp dụng định lí Pytago ta có: \(SC = \sqrt {S{G^2} + G{C^2}} = \frac{{2\sqrt {15} }}{9};SM = \sqrt {S{G^2} + G{M^2}} = \frac{{\sqrt {105} }}{{18}}\)
Xét tam giác SMC ta có: \(M{N^2} = \frac{{S{M^2} + M{C^2}}}{2} - \frac{{S{C^2}}}{4} = \frac{{65}}{{108}} \Leftrightarrow MN = \frac{{\sqrt {195} }}{{18}}\)
Áp dụng định lý cosin trong tam giác MNQ:
\(\cos \angle MQN = \frac{{M{Q^2} + N{Q^2} - M{N^2}}}{{2.MQ.NQ}} = \frac{{\frac{1}{4} + \frac{5}{{27}} - \frac{{65}}{{108}}}}{{2.\frac{1}{2}.\frac{{\sqrt {15} }}{9}}} = \frac{{ - \frac{1}{6}}}{{\frac{{\sqrt {15} }}{9}}} = - \frac{{\sqrt {15} }}{{10}} < 0\)
Vậy \(\cos \angle \left( {NQ;MQ} \right) = \frac{{15}}{{10}} = \cos \angle \left( {SA;BC} \right)\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội lần 2
