Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(AC\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\), cắt đường thẳng \(SD\) tại \(E\). Gọi \(V\) và \({V_1}\) lần lượt là thể tích khối chóp \(S.ABCD\) và \(D.ACE\), biết \(V = 5{V_1}\). Tính côsin của góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp \(S.ABCD\).
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi \(O = AC \cap BD\), vì chóp \(S.ABCD\) đều \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OM\\CD \bot SO\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow CD \bot \left( {SOM} \right)\).
Trong \(\left( {SOM} \right)\) kẻ \(OK \bot SM\,\,\left( {K \in SM} \right)\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}OK \bot SM\\OK \bot CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow OK \bot \left( {SCD} \right)\).
Mà \(O \in \left( P \right) \Rightarrow OK \subset \left( P \right) \Rightarrow K \in \left( P \right)\).
Trong \(\left( {SCD} \right)\) gọi \(E = CK \cap SD \Rightarrow E = \left( P \right) \cap SD\). Khi đó \(\left( P \right) \equiv \left( {ACE} \right)\).
Trong \(\left( {SBD} \right)\) kẻ \(EH\parallel SO\,\,\left( {H \in BD} \right)\), suy ra \(EH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Ta có: \(\frac{{{V_1}}}{V} = \frac{{{V_{D.ACE}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{\frac{1}{3}EH.{S_{ACD}}}}{{\frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}}} = \frac{{EH}}{{SO}}.\frac{1}{2}\) \( \Rightarrow \frac{1}{5} = \frac{{EH}}{{SO}}.\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{EH}}{{SO}} = \frac{2}{5} = \frac{{DE}}{{DS}}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SCD} \right) \supset SM \bot CD\\\left( {ABCD} \right) \supset OM \bot CD\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)\)\( = \angle \left( {SM;OM} \right) = \angle SMO\)
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(SMD\) có:
\(\frac{{KS}}{{KM}}.\frac{{CM}}{{CD}}.\frac{{ED}}{{ES}} = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{{KS}}{{KM}}.\frac{1}{2}.\frac{2}{3} = 1 \Leftrightarrow \frac{{KS}}{{KM}} = 3\)\( \Rightarrow \frac{{MK}}{{MS}} = \frac{1}{4}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SOM\), đường cao \(OK\) ta có:
\(O{M^2} = MK.MS \Rightarrow \frac{{O{M^2}}}{{M{S^2}}} = \frac{{MK}}{{MS}} = \frac{1}{4}\) \( \Rightarrow \frac{{OM}}{{MS}} = \frac{1}{2} = \cos \angle SMO\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Phạm Ngũ Lão
Câu hỏi liên quan
-
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 4}}\) là:
-
Tìm tập hợp \(S\) tất cả các giá trị của tham số thực \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 2m} \right)x - 3\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng:
-
Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1, tâm trùng gốc tọa độ (hình vẽ). Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x \(\left( { - 1 \le x \le 1} \right)\) thì được thiết diện là một tam giác đều. Tính thể tích V của vật thể đó.
.png)
-
Khai triển nhị thức \({\left( {x + 2} \right)^{n + 5}}\,\,\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\) có tất cả \(2019\) số hạng. Tìm \(n\).
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) với \(A\left( {1; - 2;0} \right)\), \(B\left( {3;3;2} \right)\), \(C\left( { - 1;2;2} \right)\) và \(D\left( {3;3;1} \right)\). Độ dài đường cao của tứ diện \(ABCD\) hạ từ đỉnh \(D\) xuống mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng:
-
Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(a + \left( {b - 1} \right)i = \frac{{1 + 3i}}{{1 - 2i}}\). Giá trị nào dưới đây là môđun của \(z\).
-
Cho hàm số \(y = \frac{x}{{1 - x}}\,\,\left( C \right)\) và điểm \(A\left( { - 1;1} \right)\). Tìm \(m\) để đường thẳng \(d:\,\,y = mx - m - 1\) cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt \(M,\,\,N\) sao cho \(A{M^2} + A{N^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
-
Một cấp số nhân hữu hạn có công bội \(q = - 3\), số hạng thứ ba bằng \(27\) và số hạng cuối bằng \(1594323\). Hỏi cấp số nhân đó có bao nhiêu số hạng?
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\), \(\angle BAD = {60^0}\), cạnh bên \(SA = a\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {2;1; - 1} \right)\), \(B\left( { - 1;0;4} \right)\), \(C\left( {0; - 2; - 1} \right)\). Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc \(BC\).
-
Xét số phức thỏa \(\left| z \right| = 3\). Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức \(w = \overline z + i\) là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm của đường tròn đó.
-
Phần thực và phần ảo của số phức \(z = \left( {1 + 2i} \right)i\) lần lượt là:
-
Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = - 2\) và \(\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} = - 5\), khi đó \(\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]dx} \) bằng:
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\,\,\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{2}\). Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng \(d\)?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ:
.jpg.png)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Mệnh đề nào sau đây sai?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình thang cân \(ABCD\) có hai đáy \(AB,\,\,CD\) thỏa mãn \(CD = 2AB\) và diện tích bằng \(27\), đỉnh \(A\left( { - 1; - 1;0} \right)\), phương trình đường thẳng chứa cạnh \(CD\) là \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\). Tìm tọa độ điểm \(D\) biết hoành độ điểm \(B\) lớn hơn hoành độ điểm \(A\).
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị đạo hàm \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
.jpg.png)
-
Có bao nhiêu loại khối đa diện mà mỗi mặt của nó là một tam giác đều.
