Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có mặt đáy ABC là tam giác đều cạnh AB = 2a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh AB. Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \({{60}^{0}}\). Tính tang của góc \(\varphi \) giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCC’B’).
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và B’C’, E là trung điểm của BM, dễ thấy HE là đường trung bình của tam giác ABM nên HE // AM \(\Rightarrow HE//A'N\)
\(\Rightarrow A';H;E;N\) đồng phẳng.
Ta có: \(BC\bot AM\Rightarrow BC\bot HE;\,\,BC\bot A'H\Rightarrow BC\bot \left( A'HEN \right)\)
\(\Rightarrow BC\bot NE\)
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {A'B'C'} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right) = BC\\
\left( {A'B'C'} \right) \supset A'N \bot BC\\
\left( {BCC'B'} \right) \supset NE \bot BC
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \widehat {\left( {\left( {A'B'C'} \right);\left( {BCC'B'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {A'N;NE} \right)} = \widehat {A'NE}\,\,\left( {\widehat {A'NE} < {{90}^0}} \right)\\
\widehat {\left( {\left( {ABC} \right);\left( {BCC'B'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {\left( {A'B'C'} \right);\left( {BCC'B'} \right)} \right)} \Rightarrow \widehat {A'NE} = \varphi .
\end{array}\)
.JPG)
HE là đường trung bình của tam giác ABM\(\Rightarrow HE=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}A'N\) Gọi K là trung điểm của A’N ta dễ dàng chứng minh được A’HEK là hình bình hành \(\begin{align} & \Rightarrow KE//A'H,\,\,KE=A'H \\ & \Rightarrow KE\bot \left( A'B'C' \right)\Rightarrow KE\bot KN \\ \end{align}\)
\(\Rightarrow \Delta EKN\) vuông tại K \(\Rightarrow \tan \varphi =\tan \widehat{A'NE}=\frac{KE}{KN}=\frac{A'H}{\frac{1}{2}A'N}=\frac{2A'H}{A'N}\)
Ta có \(\widehat{\left( A'A;\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( A'A;HA \right)}=\widehat{A'AH}={{60}^{0}}\Rightarrow A'H=AH.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}.\)
Tam giác A’B’C’ đều cạnh 2a \(\Rightarrow A'N=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\)
Vậy \(\tan \varphi =\frac{2A'H}{A'N}=\frac{2.a\sqrt{3}}{a\sqrt{3}}=2\)
Chọn A.
Câu hỏi liên quan
-
Trong mặt phẳng phức gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức \({{z}_{1}}=\left( 1-i \right)\left( 2+i \right),\,\,{{z}_{2}}=1+3i;\,\,{{z}_{3}}=-1-3i.\) Tam giác ABC là
-
Cho tam giác ABC có \(\widehat{ABC}={{45}^{0}},\widehat{ACB}={{30}^{0}},AB=\frac{\sqrt{2}}{2}.\) Quay tam giác ABC xung quanh cạnh BC ta được khối tròn xoay có thể tích V bằng:
-
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}\)
-
Cho chuyển động thẳng xác định bởi mặt phương trình \(s=\frac{1}{2}\left( {{t}^{4}}+3{{t}^{2}} \right),\) t được tính bằng giây, s được tính bằng m. Vận tốc của chuyển động tại t = 4 (giây) bằng:
-
Tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn \(\int\limits_{0}^{x}{\sin 2tdt}=0\)
-
Tìm tập xác định của hàm số \(y={{\left( 3{{x}^{2}}-1 \right)}^{\frac{1}{3}}}.\)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( -\infty ;0 \right)\) và \(\left( 0;+\infty \right)\) có bảng biến thiên như sau: Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
.JPG)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng \(d:\,\,\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+1}{-1}\) và \(d':\,\,\frac{x-1}{-2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z}{2}\). Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng d và d’.
-
Xác định phần ảo của số phức \(z=12-18i\) ?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a. Các cạnh bên của hình chóp đều bằng \(a\sqrt{2}\). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.
-
Cho khai triển nhị thức Newton \({{\left( 2-3x \right)}^{2x}}\), biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn \(C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{3}+C_{2n+1}^{5}+...+C_{2n+1}^{2n+1}=1024\). Tìm hệ số của \({{x}^{7}}\) trong khai triển \({{\left( 2-3x \right)}^{2n}}\)
-
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({{\log }_{2}}\left( 3x-2 \right)>{{\log }_{2}}\left( 6-5x \right)\).
-
Tìm tất cả các giá trị \({{y}_{0}}\) để đường thẳng \(y={{y}_{0}}\) cắt đồ thị hàm số \(y={{x}^{4}}-{{x}^{2}}\) tại bốn điểm phân biệt?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x-2y+z-1=0\), \(\left( Q \right):\,\,x-2y+z+8=0\) và \(\left( R \right):\,\,x-2y+z-4=0\). Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng \(\left( P \right);\left( Q \right);\left( R \right)\) lần lượt tại A, B, C. Đặt \(T=\frac{A{{B}^{2}}}{4}+\frac{144}{AC}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T\).
-
Cho hàm số \(y=\frac{1}{4}{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2018\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên R và thỏa mãn \(\int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx}=4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+C\). Hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số nào trong các hàm số sau?
-
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y=\left( m+1 \right){{x}^{3}}+\left( m+1 \right){{x}^{2}}-2x+2\) nghịch biến trên R.
-
Cho hàm số \(y=\frac{2x+1}{1-x}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
Phương trình \(\sin 2x+\cos x=0\) có tổng các nghiệm trong khoảng \(\left( 0;2\pi \right)\) bằng:
-
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, \(AB=a,BC=a\sqrt{3}\), góc hợp bởi đường thẳng AA’ và mặt phẳng (A’B’C) bằng \({{45}^{0}}\), hình chiếu vuông góc của B’ lên (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thế tích V khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
