Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi N là điểm thuộc cạnh AD sao cho AN = 2DN. Đường thẳng qua N vuông góc với BN cắt BC tại K. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay tứ giác ANKB quanh trục BK là
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiKhi quay tứ giác ANKB quanh trục BK ta được hình trụ có bán kính đáy AB, chiều cao AN và hình nón có bán kính đáy AB, chiều cao \(KO = BK - AN\)
Ta có: \(AN = \frac{2}{3}AD = \frac{{2a}}{3}\)
Áp dụng định lý Pitago ta có:
\(\begin{array}{l}
BN = \sqrt {A{B^2} + A{N^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{4}{9}{a^2}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{3}\\
\Rightarrow BK = \frac{{N{B^2}}}{{BO}} = \frac{{13{a^2}}}{{9.\frac{2}{3}a}} = \frac{{13a}}{6}\\
\Rightarrow KO = BK - BO = \frac{{13a}}{6} - \frac{{2a}}{3} = \frac{{3a}}{2}\\
\Rightarrow {V_{non}} = \frac{1}{3}\pi .A{B^2}.KO = \frac{1}{3}\pi .{a^2}.\frac{{3a}}{2} = \frac{{\pi {a^3}}}{2}\\
\Rightarrow {V_{tru}} = \pi .A{B^2}.AN = \pi .{a^2}.\frac{2}{3}a = \frac{{2\pi {a^3}}}{3}\\
\Rightarrow V = {V_{non}} + {V_{tru}} = \frac{{\pi {a^3}}}{2} + \frac{{2\pi {a^3}}}{3} = \frac{{7\pi {a^3}}}{6}
\end{array}\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Hưng Yên lần 3