Cho \(\int\limits_{16}^{55} {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x + 9} }} = a\ln 2 + b\ln 5 + c\ln 11} \) với a,b,c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTính \(I = \int\limits_{16}^{55} {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x + 9} }}} \)
Đặt \(t = \sqrt {x + 9} \Rightarrow {t^2} = x + 9 \Rightarrow dx = 2tdt\) và \(x = {t^2} - 9\)
Đổi cận: Với \(x = 16 \Rightarrow t = \sqrt {16 + 9} = 5\) ; với \(x = 55 \Rightarrow t = \sqrt {55 + 9} = 8\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}
I = \int\limits_5^8 {\frac{{2tdt}}{{\left( {{t^2} - 9} \right)t}}} \\
= 2\int\limits_5^8 {\frac{1}{{\left( {t - 3} \right)\left( {t + 3} \right)}}dt} \\
= \frac{1}{3}\int\limits_5^8 {\left( {\frac{1}{{t - 3}} - \frac{1}{{t + 3}}} \right)dt}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
= \frac{1}{3}\left. {\left( {\ln \left| {t - 3} \right| - \ln \left| {t + 3} \right|} \right)} \right|_5^8\\
= \frac{1}{3}\left( {\ln 5 - \ln 2 - \ln 11 + \ln 8} \right)\\
= \frac{1}{3}\left( { - \ln 11 + \ln 5 + 2\ln 2} \right)
\end{array}\)
\( = \frac{2}{3}\ln 2 + \frac{1}{3}\ln 5 - \frac{1}{3}\ln 11\)
Suy ra \(a = \frac{2}{3};b = \frac{1}{3};c = - \frac{1}{3} \Rightarrow a - b = - c.\)
Chọn A.
Đề thi thử THPT QG năm 2023 môn Toán
Trường THPT Chu Văn An