Cho khối chóp \({S.ABCD}\) có đáy \({ABCD}\) là hình thoi, \({\widehat{DAB}=60{}^\circ }\), \({AD=a}\), tam giác \({SBC}\) cân tại \({S}\), tam giác \({SCD}\) vuông tại \({C}\), k/c giữa \({SA}\) và \({CD}\) bằng \({\frac{4a}{5}}\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.PNG)
Tam giác \(BCD\) cân tại \(C\,\left( CB=CD=a \right)\) có \(\widehat{BCD}=\widehat{DAB}=60{}^\circ \Rightarrow \Delta BCD\) là tam giác đều cạnh \(a\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Ta có:
\(\left\{ \begin{align} & DM\bot BC \\ & SM\bot BC \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow BC\bot \left( SDM \right)\)\( \Rightarrow \left( ABCD \right)\bot \left( SDM \right)\) mà \(\left( ABCD \right)\cap \left( SDM \right)=DM\).
Trong \(\left( SDM \right)\), kẻ \(SH\bot DM\)\( \Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\).
Vì \(CD\bot SC\,\left( gt \right),CD\bot SH\,\left( do\,SH\bot \left( ABCD \right),\,CD\subset \left( ABCD \right) \right)\)\( \Rightarrow CD\bot \left( SHC \right)\)\( \Rightarrow CD\bot HC\).
Suy ra \(H\) thuộc đường thẳng qua \(C\) và vuông góc với \(CD\).
Vì \(AB//CD\)\( \Rightarrow \left( SAB \right)//CD\)\( \Rightarrow d\left( SA,\,CD \right)=d\left( CD,\left( SAB \right) \right)\)\( =d\left( C,\left( SAB \right) \right)\)\( =\frac{CE}{HE}d\left( H,\left( SAB \right) \right)\)
(với \(E=HC\cap AB\)).
Vì \(BE//CD,\,BN//CE\) (do cùng vuông góc \(CD\)) nên \(BECN\) là hình bình hành.
\(\Rightarrow CE=BN=\frac{a\sqrt{3}}{2},\,HE=GN=\frac{a\sqrt{3}}{2\times 3}\)\( =\frac{a\sqrt{3}}{6}\).
(với \(G\) là trọng tâm của \(\Delta BCD\)).
\(\Rightarrow \frac{CE}{HE}=\frac{BN}{GN}=3\)\( \Rightarrow d\left( SA,\,CD \right)=3d\left( H,\left( SAB \right) \right)=\frac{4a}{5}\)\( \Rightarrow d\left( H,\left( SAB \right) \right)=\frac{4a}{15}\). \(\left( 1 \right)\)
Kẻ \(HK\bot SE\)\( \Rightarrow d\left( H,\left( SAB \right) \right)=HK\). \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right)\)\( \Rightarrow HK=\frac{4a}{15}\).
\(\Delta SHE\) vuông tại \(H,\,HK\bot SE\)\( \Rightarrow \frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{E}^{2}}}\)\( \Leftrightarrow \frac{225}{16{{a}^{2}}}\)\( =\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{36}{3{{a}^{2}}}\Leftrightarrow SH\)\( =\frac{4a}{\sqrt{33}}\).
Thể tích của khối chóp đã cho là \(V=\frac{1}{3}Bh\)\( =\frac{1}{3}\times \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}\times \frac{4a}{\sqrt{33}}\)\( =\frac{2{{a}^{3}}}{3\sqrt{11}}\).
Chọn D
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Thủ Thiêm
Câu hỏi liên quan
-
Cho góc ở đỉnh của 1 hình nón bằng \({{60}^{0}}\). Gọi \(r,h,l\) lần lượt là bán kính đáy, đường cao, đường sinh của hình nón đó. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho \(10\) học sinh gồm \(5\) bạn lớp \(12A\) và \(5\) bạn lớp \(12B\) tham gia một trò chơi. Để thực hiện trò chơi, người điều khiển ghép ngẫu nhiên \(10\) học sinh đó thành \(5\) cặp. Xác suất để không có cặp nào gồm hai học sinh cùng lớp bằng?
-
Cho hàm số \(y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) (với \(a,b,c,d\in \mathbb{R}\)) có đồ thị như hình:
.PNG)
Có bao nhiêu số dương trong các số \(a,b,c,d\)?
-
Hãy cho biết nghiệm của phương trình \({{2}^{x-1}}=8\) là?
-
Họ các nguyên hàm của HS \(f(x)=\sin 3x\) là?
-
Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{-1}\) song song với mặt phẳng nào?
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=A{A}'=2a\), \(AC=a\), \(\widehat{BAC}=120{}^\circ \). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(A.BC{C}'{B}'\)?
-
Hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{4}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mp \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với \(\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3}\) và \(\left( \alpha \right)\) cắt trục \(Ox\), trục \(Oy\) và tia \(Oz\) lần lượt tại \(M\), \(N\), \(P\). Biết rằng thể tích khối tứ diện \(OMNP\) bằng \(6\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm nào sau đây?
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), \(O\) là tâm mặt đáy. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(SO\) và \(CD\) bằng?
-
Cho khối trụ có đường cao bằng \(2\), chu vi của thiết diện qua trục gấp \(3\) lần đường kính đáy. Thể tích của khối trụ đó bằng?
-
Biết khoảng (a; b) là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m để pt \(3{{\log }_{27}}\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+2m-4{{m}^{2}} \right)+{{\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}}\sqrt{{{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}}}=0\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)thỏa mãn \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\). Tính K = 5a + 2b?
-
Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình. Phương trình \(f\left( {{x}^{2}} \right)+1=0\) có bao nhiêu nghiệm?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu đạo hàm như hình:
Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho CSC \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{1}}=1\) và \({{u}_{3}}=\frac{1}{3}\). Công sai của \(\left( {{u}_{n}} \right)\) bằng?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
.png)
-
Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(a\) để phương trình \({{z}^{2}}-\left( a-3 \right)z+{{a}^{2}}+a=0\) có hai nghiệm phức \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\)thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\)?
-
Cho các số phức sau \(z=2+i\) và \(w=3-i.\) Phần thực của số phức \(z+w\) bằng?
-
Xét tất cả các số thực dương \(x;y\) thỏa \(\frac{x+y}{10}+\log \left( \frac{1}{2x}+\frac{1}{2y} \right)=1+2xy\). Khi biểu thức \(\frac{4}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất, tích \(xy\) bằng?
-
Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên. Biết rằng \(G\left( x \right)={{x}^{3}}\) là 1 nguyên hàm của \(g\left( x \right)={{e}^{-2x}}f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\). Họ tất cả các nguyên hàm của \({{e}^{-2x}}{f}'\left( x \right)\) là?
