Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, \(SA = SB = \sqrt 2 a\), khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) bằng a. Thể tích của khối chóp đã cho bằng:
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.JPG)
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD.
\(\Delta SAB\) có \(SA = SB\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow SE \bot AB \Rightarrow SE \bot CD\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SE\\CD \bot EF\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SEF} \right)\).
Trong \(\left( {SEF} \right)\) kẻ \(EK \bot SF\) ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l}EK \bot SF\\EK \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow EK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {E;\left( {SCD} \right)} \right) = EK\).
Vì \(AB//CD \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {E;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = a\).
Kẻ \(SH \bot EF\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot EF\\CD \bot \left( {SEF} \right) \Rightarrow SH \bot CD\end{array} \right. \Leftrightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Ta có \({S_{\Delta SEF}} = \frac{1}{2}SH.EF = \frac{1}{2}EK.SF \Leftrightarrow SH.2a = a.SF \Rightarrow 2SH = SF\).
Đặt \(SH = x \Rightarrow SF = 2a\).
Ta có \(AE = \frac{1}{2}AB = a \Rightarrow SE = \sqrt {S{A^2} - A{E^2}} = \sqrt {2{a^2} - {a^2}} = a\)
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác SEF ta có : \(\cos \angle SEF = \frac{{S{E^2} + E{F^2} - S{F^2}}}{{2SE.EF}} = \frac{{{a^2} + 4{a^2} - 4{x^2}}}{{2.a.2a}} = \frac{{5{a^2} - 4{x^2}}}{{4{a^2}}}\)
Xét tam giác vuông SEH có \(EH = SE.\cos \angle SEF = a.\frac{{5{a^2} - 4{x^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{5{a^2} - 4{x^2}}}{{4a}}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SHE có :
\(\begin{array}{l}S{H^2} + E{H^2} = S{E^2} \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {\frac{{5{a^2} - 4{x^2}}}{{4a}}} \right)^2} = {a^2}\\ \Leftrightarrow 16{a^2}{x^2} + 25{a^4} - 40{a^2}{x^2} + 16{x^4} = 16{a^4}\\ \Leftrightarrow 9{a^4} - 24{a^2}{x^2} + 16{x^4} = 0 \Leftrightarrow {\left( {3{a^2} - 4{x^2}} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow 4{x^2} = 3{a^2} \Leftrightarrow x = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = SH\end{array}\)
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.4{a^2} = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
Chọn D.
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) có đồ thị \(\left( P \right)\). Xét các điểm A, B thuộc \(\left( P \right)\) sao cho tiếp tuyến tại A và B của \(\left( P \right)\) vuông góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\) và đường thẳng AB bằng \(\frac{9}{4}\). Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) lần lượt là hoành độ của A và B. Giá trị của \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}\) bằng:
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(SABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a\) và chiều cao bằng \(\sqrt 3 a.\) Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) bằng:
-
Với các số thực \(a,\,\,b > 0,\,\,a \ne 1\) tùy ý, biểu thức \({\log _{{a^2}}}\left( {a{b^2}} \right)\) bằng:
-
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = a.\) Gọi \(M,\;N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC.\) Biết \(MN = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{2},\) góc giữa đường thẳng\(AB\) và \(CD\) bằng:
-
Biết rằng tồn tại duy nhất bộ các số nguyên a, b, c sao cho \(\int\limits_2^3 {\left( {4x + 2} \right)\ln xdx} = a + b\ln 2 + c\ln 3\). Giá trị của \(a + b + c\) bằng:
-
Cho hàm số \(y = {x^3} - 2x + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\) . Hệ số góc \(k\) của tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 1 bằng
-
Với hàm \(f\left( x \right)\) tùy ý liên tục trên \(\mathbb{R},\,a < b\) , diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị cảu hàm số \(y = f\left( x \right),\) trục hoành và các đường thẳng \(x = a,x = b\) được xác định theo công thức
-
Trong không gian \({\rm{Ox}}yz,\) vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right):\,2y - 3z + 1 = 0?\)
-
Xét số phức z thỏa mãn \(\dfrac{{z + 2}}{{z - 2i}}\) là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z luôn thuộc một đường tròn cố đinh. Bán kính của đường tròn đó bằng:
-
Trong không gian \(Oxyz,\) gọi \(d\) là đường thẳng qua \(A\left( {1;\;0;\;2} \right)\) cắt và vuông góc với đường thẳng \({d_1}:\;\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 5}}{{ - 2}}.\) Điểm nào dưới đây thuộc \(d?\)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị . Hàm số đã cho đạt cực đại tại
.JPG)
-
Với các số \(a,\;b > 0\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 6ab,\) biểu thức \({\log _2}\left( {a + b} \right)\) bằng:
-
Cho hình trụ \(\left( T \right)\) có chiều cao bằng 2a. Hai đường tròn đáy của \(\left( T \right)\) có tâm lần lượt là O và \({O_1}\) và bán kính bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm \({O_1}\) lấy điểm B sao cho \(AB = \sqrt 5 a\). Thể tích khối tứ diện \(O{O_1}AB\) bằng:
-
Trong không gian Oxyz, tập hợp các điểm thỏa mãn \(\left| x \right| + \left| y \right| + \left| z \right| \le 2\) và \(\left| {x - 2} \right| + \left| y \right| + \left| z \right| \le 2\) là một khối đa diện có thể tích bằng:
-
Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,\,AB = a,\,AC = 2a,\,SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SA = a.\) Thể tích khối nón đã cho bằng
-
Cho \(a,b\) là các số thực thỏa mãn \(a + 6i = 2 - 2bi,\) với \(i\) là đơn vị ảo. Giá trị của \(a + b\) bằng
-
Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {\left( {1 + i} \right)z - 5 + i} \right| = 2\) là một đường tròn tâm \(I\) và bán kính \(R\) lần lượt là:
-
Gọi \({x_1},\;{x_2}\) là hai điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} - 2x.\) Giá trị của \(x_1^2 + x_2^2\) bằng:
-
Gieo con xúc xắc được chế tạp cân đối và đồng chất 2 lần. Gọi a là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ nhất, b là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai. Xác suất để phương trình \({x^2} + ax + b = 0\) có nghiệm bằng:
-
Cho khối chóp \(SABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O,\;AB = a,\;\angle BAD = {60^0},\;SO \bot \left( {ABCD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) tạo với mặt đáy một góc bằng \({60^0}.\) Thể tích khối chóp đã cho bằng:
