Cho lăng trụ đều \(ABC.EFH\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(S\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(BH\). Thể tích khối đa diện \(ABCSFH\) bằng
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(I\) là hình chiếu của \(A\) lên \(BH\). Khi đó \(S\) đối xứng với \(A\) qua \(BH\) hay \(S\) đối xứng với \(A\) qua \(I\).
Chia khối đa diện \(ABCSFH\) thành hai khối chóp \(A.BCHF\) và \(S.BCHF\) thì ta có \({V_{ABCHFS}} = {V_{A.BCHF}} + {V_{S.BCHF}}\)
Lại có \(SI = AI\) và \(SA \cap \left( {BCHF} \right)\) tại \(I\) nên
\(d\left( {A,\left( {BCHF} \right)} \right) = d\left( {S,\left( {BCHF} \right)} \right)\).
Suy ra \({V_{A.BCHF}} = {V_{S.BCHF}} \Rightarrow {V_{ABCHFS}} = 2{V_{A.BCHF}}\)
Dễ thấy \({V_{A.BCHF}} = {V_{ABC.EFH}} - {V_{A.EFH}} = {V_{ABC.EFH}} - \dfrac{1}{3}{V_{ABC.EFH}} = \dfrac{2}{3}{V_{ABC.EFH}}\)
Mà \({V_{ABC.EFH}} = AE.{S_{ABC}} = a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) nên \({V_{A.BCHF}} = \dfrac{2}{3}{V_{ABC.EFH}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
\( \Rightarrow {V_{ABCHFS}} = 2{V_{A.BCHF}} = 2.\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy \({V_{ABCHFS}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
Chọn D.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Hoàng Hoa Thám