Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

Câu hỏi liên quan

• Tính chiều dài bé nhất của cái thang đơn vị m, để nó có thể tựa vào tường và mặt đất, ngang qua cột đỡ cao 4m, song song và cách tường 0,5m kể từ tâm của cột đỡ (xem hình vẽ, kết quả lấy đến 2 chữ số thập phân).
  

• Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 3(m³). Tỉ số giữa chiều cao của hố (h) và chiều rộng của đáy (y) bằng 4. Biết rằng hố ga chỉ có các mặt bên và mặt đáy (tức không có mặt trên). Chiều dài của đáy (x) gần nhất với giá trị nào ở dưới để người thợ tốn ít nguyên vật liệu để xây hố ga.

• Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng 1 dm³ và diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy của hình trụ phải bằng bao nhiêu?

ZUNIA12

• Trong một cuộc thi, thử thách đặt ra là: BTC sẽ cấp cho bạn một chiếc xe máy, có một đoạn dốc được tạo nên từ một mặt phẳng có thể thay đổi được độ nghiêng từ gốc. Một cảm biến quang học được đặt sẵn ở độ cao nhất định so với mặt đất sẽ hoạt động nếu xe máy của bạn đạt đến độ cao này. Biết rằng nếu chiếc xe máy này đi lên con dốc có độ nghiêng là 30° thì đạt vận tốc 20 km/h và cứ nâng độ nghiêng thêm 4° thì vận tốc xe máy giảm 5km/h. Hỏi để đạt đến độ cao đề ra sớm nhất ta nên đặt mặt phẳng ban đầu có độ nghiêng là bao nhiêu?

• Một bác nông dân có 60 000 000 đồng để làm một cái rào hình chữ E dọc theo một con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần bằng nhau để trồng cà chua. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 50 000 đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song với nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 40 000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất có thể rào được?
  

• Một kĩ sư thiết kế sân tập thể thao dạng hình chữ nhật ABCD diện tích bằng 961m² và được mở rộng thêm 4 phần đất sao cho tạo thành đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có tâm O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Tính diện tích nhỏ nhất (có thể đạt được) của 4 phần đất được mở rộng. (Xem hình vẽ bên)
  

• Bên trong một căn phòng hình lập phương, được ký hiệu như sau ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 4(cm). Người ta tiến hành trang trí ngôi nhà bằng cách gắn các dây lụa tại điểm M và N theo thứ tự trên AC và A'B  sao cho  \(AM = A'N = t\left( {0 \le t \le 4\sqrt 2 cm} \right)\). Biết rằng dây lụa được nhập khẩu từ nước ngoài nên rất đắt. Gia chủ muốn chiều dài của dây là ngắn nhất. Hỏi độ dài ngắn nhất của sợi dây mà gia chủ có thể dùng là bao nhiêu?
  

• Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật gia gồm phần dạng hình trụ (có tổng diện tích vải là S₂) và phần dạng hình vành khăn (có tổng diện tích vải là S₁) với các kích thước như hình vẽ. Tính tổng (r + d) sao cho biểu thức P = \(3{S_2} - {S_1}\) đạt giá trị lớn nhất (không kể viền, mép, phần thừa).
  

• Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng \(\frac{{500}}{3}\) m³. Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 500.000 đồng/m². Hãy xác định kích thước của hồ nước sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất. Chi phí đó là?

• Người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật liệu cho trước là 8 (m) thẳng hàng rào. Ở đó người ta vận dụng một bờ giậu có sẵn để làm một cạnh của hàng rào. Diện tích lớn nhất của mảnh đất có thể rào là bao nhiêu?
  

• Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B đến A là 4. Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD. Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất.
  

• Một hạt ngọc trai hình cầu (S) bán kính R không đổi, được bọc trong một hộp trang sức dạng hình nón (N) ngoại tiếp mặt cầu (S). Khi đó thì chiều cao h và bán kính đáy r của hình nón (N) lần lượt bằng bao nhiêu để hộp trang sức có thể tích nhỏ nhất?
  

• Một học sinh được giao thiết kế một cái hộp thỏa mãn: Tổng của chiều dài và chiều rộng bằng 12cm; tổng của chiều rộng và chiều cao là 24cm. Giáo viên yêu cầu học sinh ấy phải thiết kế sao cho thể tích cái hộp lớn nhất, giá trị thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
  

• Trong đợt chào mừng ngày 26/03/2016, trường THPT Lê Quảng Chí có tổ chức cho học sinh các lớp tham quan dã ngoại ngoài trời, trong số đó có lớp 12A. Để có thể có chỗ nghỉ ngơi trong quá trình tham quan dã ngoại, lớp 12A đã dựng trên mặt đất bằng phẳng 1 chiếc lều bằng bạt từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài là 12m và chiều rộng là 6m bằng cách: Gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho hai mép chiều dài còn lại của tấm bạt sát đất và cách nhau x m (xem hình vẽ). Tìm x để khoảng không gian phía trong lều là lớn nhất?
  

• Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD = 60cm và AB có độ dài không đổi. Ta gập tấm nhôm theo 2 cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết 2 đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ tạo thành lớn nhất?
  

• Một cái nắp của bình chứa rượu gồm một phần dạng hình trụ, phần còn lại có dạng nón (như hình vẽ). Phần hình nón có bán kính đáy r, chiều cao h, đường sinh bằng 1,25m. Phần hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính hình nón, chiều cao bằng h/3. Kết quả (r + h ) xấp xỉ bằng bao nhiêu cm để diện tích toàn phần của cái nắp là lớn nhất.
  

• Một miếng giấy hình chữ nhật ABCD với AB = x, BC = 2x và đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (ABCD), Δ song song với AD và cách AD một khoảng bằng a, Δ không có điểm chung với hình chữ nhật ABCD và khoảng cách từ A đến Δ lớn hơn khoảng cách từ B đến Δ.Tìm thể tích lớn nhất có thể có của khối tròn xoay tạo nên khi quay hình chữ nhật ABCD quanh Δ.
  

• Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ tăng thêm giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng một tháng thì sẽ có 2 căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì công ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng.

• Có hai chiếc cọc cao 10m và 30m lần lượt đặt tại hai vị trí A, B. Biết khoảng cách giữa hai cọc bằng 24m. Người ta chọn một cái chốt ở vị trí M trên mặt đất nằm giữa hai chân cột để giăng dây nối đến hai đỉnh C và D của cọc (như hình vẽ). Hỏi ta phải đặt chốt ở vị trí nào trên mặt đất để tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất.
  

• Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m, cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m. Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B. Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là: