Cho phương trình:

\({{2}^{-\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|}}.{{\log }_{81}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)+{{2}^{-\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|-2}}.{{\log }_{3}}\left( \frac{1}{\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2} \right)=0\)

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) nguyên để phương trình đã cho có 6 nghiệm hoặc 7 nghiệm hoặc 8 nghiệm. Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập \(S.\)

A. 20

B. 19

C. 14

D. 28

Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

Ta có:

\({{2}^{-\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|}}.{{\log }_{81}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)+{{2}^{-\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|-2}}.{{\log }_{3}}\left( \frac{1}{\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2} \right)=0\text{ }\left( 1 \right)\)

\(\Leftrightarrow {{2}^{-\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|-2}}.{{\log }_{3}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)+{{2}^{-\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|-2}}.{{\log }_{3}}\left( \left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2 \right)=0\)

\(\Leftrightarrow {{2}^{\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2}}.{{\log }_{3}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)={{2}^{-\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2}}.{{\log }_{3}}\left( \left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2 \right)\text{ }\left( 2 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{2}^{t}}{{\log }_{3}}t\) với \(t\ge 2.\)

Có \(f'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2.{{\log }_{3}}t+\frac{{{2}^{t}}}{t.\ln 3}={{2}^{t}}\left( \ln 2.{{\log }_{3}}t+\frac{1}{t.\ln 3} \right)>0,\forall c\in \left[ 2;+\infty \right).\)

Hàm số \(f\left( t \right)={{2}^{t}}{{\log }_{3}}t\) đồng biến trên \(\left( 2;+\infty \right).\)

\(\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)=f\left( \left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2 \right)\)

\(\Leftrightarrow \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2=\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2\Leftrightarrow \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|=\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left| {{x^3}} \right| - 3{x^2} + 1 = \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} + 1\\ \left| {{x^3}} \right| - 3{x^2} + 1 = - \left| {{m^3}} \right| + 3{m^2} - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left| {{x^3}} \right| - 3{x^2} = \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2}{\rm{ }}\left( 3 \right)\\ \left| {{x^3}} \right| - 3{x^2} = - \left| {{m^3}} \right| + 3{m^2} - 2{\rm{ }}\left( 4 \right) \end{array} \right.\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\) có \(g'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right..\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\)

Suy ra bảng biến thiên của hàm số \(g\left( \left| x \right| \right)={{\left| x \right|}^{3}}-3{{x}^{2}}\)

Để phương trình (1) có 6 nghiệm hoặc 7 nghiệm hoặc 8 nghiệm thì phương trình (3) có 4 nghiệm và phương trình (4) có ít nhất 2 nghiệm hoặc phương trình (3) có 3 nghiệm thì phương trình (4) có ít nhất 3 nghiệm hoặc phương trình (3) có 2 nghiệm thì phương trình (4) có 4 nghiệm.

TH1: phương trình (3) có 4 nghiệm và phương trình (4) có ít nhất 2 nghiệm

\(\left\{ \begin{array}{l} - 4 < \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} < 0\\ - \left| {{m^3}} \right| + 3{m^2} - 2 \ge - 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 < \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} < 0\\ \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} \le 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} < 0\\ \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} + 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2}\left( {\left| m \right| - 3} \right) < 0\\ {\left( {\left| m \right| - 2} \right)^2}\left( {\left| m \right| + 1} \right) > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 < m < 3\)

TH2: phương trình (3) có 3 nghiệm thì phương trình (4) có ít nhất 3 nghiệm

\(\left\{ \begin{array}{l} \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} = 0\\ - 4 < - \left| {{m^3}} \right| + 3{m^2} - 2 \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2}\left( {\left| m \right| - 3} \right) = 0\\ \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} \ge - 2\\ \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = \pm 3 \end{array} \right.\)

TH3: phương trình (3) có 2 nghiệm thì phương trình (4) có 4 nghiệm

\(\left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} = - 4\\ \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} > 0 \end{array} \right.\\ - 4 < - \left| {{m^3}} \right| + 3{m^2} - 2 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2}\left( {\left| m \right| - 3} \right) > 0\\ \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| m \right| > 3\\ \left| {{m^3}} \right| - 3{m^2} < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \)

Xét phương trình: \(-\left| {{m}^{3}} \right|+3{{m}^{2}}-2=\left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}\Leftrightarrow \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1=0\) không có nghiệm nguyên.

Vậy \(S=\left\{ 0;\pm 1;\pm 2;\pm 3 \right\}.\) Tổng bình phương các phần tử của \(S\) là: 28.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài